Donnez l’´ecriture alg´ebrique des nombres complexes suivants : z1 = 1 +i i z2 = 1 1−i z3 = −2 +i 2 +i 2

I.U.T d’Aix-Marseille Premier semestre 2021/2022 D´epartement Mesures Physiques

Math´ematiques - TD n^o2

Nombres Complexes.

Partie I: du calcul dansC.

Exercice 1Des calculs avec la forme alg´ebrique...

1. Donnez l’´ecriture alg´ebrique des nombres complexes suivants : z1 = 1 +i

i z2 = 1

1−i z3 = −2 +i 2 +i

2. On consid`ere les nombres complexes z1 = 1 +i et z2 = 5−2i. D´eterminer l’´ecriture alg´ebrique des nombres suivants

z1+z2, z1×z2, z1

z2

3. Soita∈R, b∈R, r´esoudre a+ib= 1 2−3i. 4. Ecrire sous forme alg´ebrique

z1= 7 +i

3−2i, z2 = −3 (1 +i)(2−i) Exercice 2

1) Soitx∈R, que savez-vous du nombre complexe e^ix ? 2) SoitZ₁= 2e^iπ2 etZ₂= 3e^i3π4 .

a) Repr´esentez dans le plan muni d’un rep`ere orthonorm´e les points d’affixeZ₁ etZ₂. b) Donnez l’´ecriture alg´ebrique de Z1 etZ2.

3) On consid`ere le nombre complexeZ₃=−2e^−iπ2.

Z₃ est-il ´ecrit sous forme exponentielle (justifiez) ? Si ce n’est pas le cas, donnez l’´ecriture exponentielle deZ3.

Exercice 3Forme exponentielle d’un nombre complexe

1. ´Ecrire les nombres complexes suivants sous forme exponentielle.

z₁ = 4i, z₂ =−2i, z₃ =−3, z₄ = 5.

2. Soitω ∈R^∗, quelle est l’´ecriture exponentielle deZ =iω ? 3. Mˆeme question avec :

z5 = 1−i√

3, z6 =√

3 +i, z7= 1 1 +i√

3, z8 = 1−i√ 3 1 +i√

3. 4. Mˆeme question avecz9 = 1 + 2i.

5. Soit x ∈]0, π[, on consid`ere Z = 1 +e^−ix. Donner sa forme alg´ebrique puis sa forme exponentielle.

Indication: pour l’´ecriture exponentielle, on pourra factoriser pare^−ix2. Exercice 4

a) D´eterminer l’ensemble des nombres z∈Ctels que z² est un nombre r´eel.

b) D´eterminer l’ensemble des nombres z ∈ C tels que z² est un nombre imaginaire pur.

On noteP, l’ensemble des points du plan muni d’un rep`ere orthonorm´e{O,~ı,~}. Siz∈C, on noteM le point d’affixez. Interpr´etez g´eom´etriquement les deux ensembles d´etermin´es dans les questions a) et b).

Exercice 5 1. Soitz₁ =√

6e^iπ4 etz₂ =√

2e^−iπ3. Donnez l’´ecriture exponentielle de z₁×z₂, z₁

z2

, iz₁ z2

2. Soitx∈R, ´ecrire sous forme exponentielle les nombres complexes suivants : Z₁ = cosx−isinx, Z₂ = sinx+icosx, Z₃= sinx−icosx, Z₄ =−cosx+isinx 3. Soitz=−ie^iπ3. Pr´eciser le module et un argument de z.

Exercice 6Application : lin´earisation

1. Quel est le lien entree^ix ete^−ix ? Donner leur partie r´eelle et imaginaire ? 2. Quel est le lien entree^2ix ete^−2ix ? Donner leur partie r´eelle et imaginaire ? 3. Lin´earisez (= transformer un produit en une somme) cos⁴x, sin³x.

Outils n´ecessaires : formules d’Euler, formule du binˆome de Newton et triangle de Pascal (`a d´etailler)

Partie II : r´esolution d’´equations dans C.

Exercice 7Racines carr´ees d’un nombre complexe et application `a la r´esolution d’´equations du second degr´e

On appellera “racine carr´ee” d’un nombre complexe α toute solution de l’´equation z² =α autrement dit les nombres dont le carr´e vaut α. Suivant l’expression de α, il sera judicieux de chercher les racines carr´ees sous forme exponentielle ou sous forme alg´ebrique comme le montre les exemples suivants :

1. D´eterminer les ”racines carr´ees” de 5, −3, 2iet 3 + 3i.

2. D´eterminer les ”racines carr´ees ” de α=−3 + 4i.

3. R´esoudre dans Cles ´equations suivantes : x²+x−1 = 0 x²−x+ 1 = 0 x²−x(1−i)−i= 0 x²−(3 + 4i)x−1 + 5i= 0.

Exercice 8

1. R´esoudre dansC les ´equationsz³−1 = 0 et z⁵+ 1 = 0. Repr´esenter graphiquement les solutions sur le cercle trigonom´etrique.

D´efinition : on appelle racine n-i`eme de l’unit´e les solutions complexes de l’´equation zⁿ= 1.

2. D´eterminer les racines carr´ees et les racines cubiques de 1−i.

Indication: pour ce type d’´equations, il est fortement conseill´e de chercher les solutions sous la forme exponentielleρe^iθ.

Exercice 9extrait d’un devoir surveill´e..

Les questions suivantes sont ind´ependantes.

1. D´eterminer l’´ecriture exponentielle de α= 3−i.

2. R´esoudre dansC, l’´quationZ³= 8i. On donnera les solutions sous forme exponentielle puis sous forme alg´ebrique.

3. Montrez que (cosπ

7 +isinπ 7)(1

2−i

√3

2 )(1 +i) =√

2(cos5π

84 +isin5π 84).

Exercice 10

D´eterminer l’ensemble des nombres complexes z v´erifiant la relation|z−i|=|z+i| (1).

On r´esoudra cette question de deux fa¸cons diff´erentes : a) en utilisant l’´ecriture alg´ebrique de z,

b) en interpr´etant g´eom´etriquement la relation (1).

Exercice 11

R´esoudre dansC l’´equation z⁶−iz³−1−i= 0.

Indication: on posera Z=z³ et on r´esoudra dans un premier temps l’´equation Z²−iZ−1−i= 0

Exercice 12 Extrait devoir surveill´e octobre 2021 Soit le nombre complexe z=p

2 +√ 3 +ip

2−√ 3.

a) Donnez l’´ecriture alg´ebrique de z² puis son ´ecriture exponentielle.

b) R´esoudre l’´equation X² =z². En d´eduire l’´ecriture exponentielle dez.

c) En d´eduire les valeurs exactes de cos π

12

et sin π

12

. Partie III: pour s’entraˆıner. A faire seul !

Exercice 1Forme alg´ebrique et exponentielle d’un nombre complexe Soit les nombres complexesu= 1 +ietv= 1−i.

a) ´Ecrire u etv sous forme exponentielle.

b) Repr´esenter dans le plan complexe les points d’affixeu etv.

c) Calculer les nombresu+v,u−v,uvetu

v. Ecrire ces nombres sous forme alg´ebrique et sous forme exponentielle. Repr´esenter leurs images dans le plan complexe.

Exercice 2

1. Mettre sous forme alg´ebrique les nombres complexes suivants : 1 +i√

3

1−i , (1 +i√

3)²+ (1−i√

3)², 1

1 +i+ 1 1−i. 2. D´eterminer le module et un argument de i+ 1

1−i. En d´eduire

1 +i 1−i

32

.

3. Mettre sous forme exponentielle les nombres complexes suivants : z = 3 −4i et w= 1 +i√

3 1−i√

3. Exercice 3

R´esoudre dansC, les ´equations suivantes : a) z²+ (1 +i)z+i= 0 ;

b) z²−(5−4i)z+ 3(1−3i) = 0;

c) z²+ 5iz+ 4 = 0 ;

d) z²−2 cos(θ)z+ 1 = 0 o`uθ∈R ; Exercice 4

1. On consid`ere Ω = 128(−1 +i√

3). R´esoudre l’´equationz⁸= Ω.

2. Soitz= 1 +i√

3. On posez⁰= z

1 +|z|. Calculer la module dez⁰. Exercice 5

Soitz=e^i2π7 . On consid`ere les nombres complexes

A=z+z²+z⁴, B=z³+z⁵+z⁶ a) Calculer A+B etA×B.

b) Montrer que B=Apuis que Im(A)>0.

c) En d´eduireA etB. Donner une construction g´eom´etrique de A etB.

Remarques

On pourra noter quez⁷ = 1 (zest une racine septi`eme de l’unit´e). On rappelle la propri´et´e suivante : soient α etβ deux nombres complexes tels queα+β=setαβ=p alorsα et β sont solutions de l’´equation x²−sx+p= 0.

Exercice 6

On d´efinit la suite de nombres complexes suivante : z0 = 2 et zn+1 =

1 +i 2

zn. On noteraAnle point d’affixeznet on poseun=|z_n|pour tout entiern. SoitDle disque de centre l’origine et de rayon 0,1.

1. D´eterminez les coordonn´ees des pointsA₀,A₁,A₂,A₃ etA₄. On repr´esentera ces points dans le plan.

2. Calculez u₀,u₁ etu₂.

3. Montrez que pour tout entiern,u_n= 2

√2ⁿ. 4 D´eterminez les entiers ntels queA_n∈D.

Exercice 7

1. ud´esigne un nombre complexe de module 1 et d’argumentθ∈[0, π[∪]π,2π]. D´eterminez l’´ecriture exponentielle de 1−u

1 +u.

2. En d´eduire le module et un argument du nombre complexez tel que 2 +iz 2−iz =u.

3. R´esoudre dansC l’´equation (2 +iz)⁵ = (2−iz)⁵.

4. Que peut-on dire des images des solutions de l’´equation pr´ec´edente ?