TS 8 Interrogation 1A : Correction 12 septembre 2017 Exercice 1 :
Soitula suite d´efinie pour tout entiernparun+1= 12un+ 1 etu0= 5.
1. On posev la suite d´efinie parvn =un−2. D´emontrer que vest g´eom´etrique.
Solution: vn+1=un+1−2 = 12un+ 1−2 = 12un−1 = 12(un−2) = 12vn
v est donc g´eom´etrique de raison 12 et de premier termev0=u0−2 = 3 donc vn= 3× 12n
2. En d´eduireun en fonction den.
Solution:
un=vn+ 2 = 3× 12n + 2.
3. D´eterminer en fonction den:
n
X
i=0
vi, en d´eduire
n
X
i=0
ui.
Solution:
n
X
i=0
vi=v0×1−(13)n+1
1−13 = 9−(13)n−1 2
Exercice 2 :
Soit la suite d´efinie paru0= 10 etun+1= 1,2un−100.
Compl´eter l’algorithme suivant pour qu’il affiche le pluspetitentierntel queun>300.
Variables uetnsont des nombres
uprend la valeur ...
nprend la valeur ...
Traitement Tant que ... faire uprend la valeur ...
nprend la valeur ...
Fin Tant que
Sortie Afficher ...
Solution:
Variables uet nsont des nombres
uprend la valeur 10 nprend la valeur 0 Traitement Tant queu6300 faire
uprend la valeur 1,2u−100 nprend la valeur n+ 1 Fin Tant que
Sortie Affichern
Exercice 3 :
Soitula suite d´efinie pour tout entiernparu0= 1 etun+1= 0,8un+ 1.
Montrer par r´ecurrence que, pour tout entiern,un= 5−4×0,8n.
Solution:
Pour tout entier natureln, on appelleP(n) la propri´et´e :un= 5−4×0,8n .
Initialisation : Pourn= 0, on a : 1
u0= 1 et 5−4×0,80= 1
La propri´et´e est vraie pourn= 0.
H´er´edit´e : Soitn>un entier tel queP(n) est vraie, montrons queP(n+ 1) est vraie.
P(n+ 1) s’´ecrit un+1= 5−4×0,8n+1 Orun+1= 0,8un+ 1
D’apr`es l’hypoth`ese de r´ecurrence :un= 5−4×0,8n Doncun+1= 0,8×(5−4×0,8n) + 1
Doncun+1= 4−4×0,8n+1+ 1 = 5−4×0,8n+1DoncP(n+ 1) est vraie.
Conclusion : Il y a initialisation et h´er´edit´e donc par r´ecurrence : La pro- pri´et´eP(n) est vraie pour tout entiern.
