1`ere S 12 correction DST 8 22 mai 2014
Exercice 1 : (5 points)
(1) 2x−5 = 0 est ´equivalent `ax=52.f est donc d´efinie surR\ {52}.
(2) f est d´erivable comme quotient de deux fonctions d´erivables surDf avec un d´enominateur ne s’annullant pas sur cet ensemble. On poseu(x) =x2−4 etv(x) = 2x−5, on au0(x) = 2xet v0(x) = 2. Donc
f0(x) = 2x(2x−5)−2(x2−4)
(x2−4)2 =4x2−10x−2x2+ 8
(x2−4)2 = 2x2−10x+ 8 (x2−4)2 .
Le discriminant du num´erateur est 64 et les racines sont donc 1 et 4. Le coefficient dominant de ce trinome
´
etant positif, on en d´eduit quef0 est positive sur ]− ∞; 1]∩[4; +∞[ et n´egative ailleurs.
f est donc croissante sur ]− ∞; 1], d´ecroissante sur [1;52[, d´ecroissante sur ]52; 4] et croissante sur [4; +∞[. j (3) L’´equation r´eduite est :
y=f(3)(x−3) +f(3) =−4x+ 17.
(4) Le coefficient directeur de cette droite est−1. On cherche donc `a calculer les abscissesxtels quef0(x) =−1.
Comme 4 est une racine du num´erateur, on peut 2x2−10x+ 8
(2x−5)2 =−1⇔2x2−10x+8+(2x−5)2= 0⇔2x2−10x+8+4x2−20x+25 = 0⇔6x2−30x+33 = 0.
On trouve alors 2 abscisses 5−
√3 2 et 5+
√3 2 .
Exercice 2 : (5 points)
Tout est dans le cours
Exercice 3 : (2 points)
(1) −−→ AB= 62
et −→
AC= 36 . On a donc−−→
AB·−→
AC = 18 + 12 = 30.
(2) On a de plusAB=√
36 + 4 =√
40 etAC=√
9 + 36 =√ 45.
On a donc−−→ AB·−→
AC =AB×AC×cos
\BAC . cos
\BAC
= 30
√45×√ 40=
√2
2 . On en d´eduit que\BAC= π4 ou −π4 . Par la configuration des points, on a :
\BAC=π 4.
Exercice 4 : (4 points)
(1) −−→
M A= −1−x2−y et−−→
M B= 3−x4−y
, on a donc :
−−→
M A+−−→
M B
·−−→
M A= (2−2x)(−1−x)+(6−2y)(2−y) =−2−2x+2x+2x2+12−6y−4y+2y2= 2x2+2y2−10y+10.
(2) On peut encore r´e´ecrire l’expression pr´ec´edente comme :
−−→
M A+−−→
M B
·−−→
M A= 2x2+ 2
y−5 2
2
−5 2. On en d´eduit qu’il s’agit de l’´equation d’un cercle de centre (0;52) et de rayon
√
√5 2.
Exercice 5 : (4 points)
(1) −−→
M A·−−→
M B=−−→
M A·−−→
M A0+−−→
A0B
=−−→
M A·−−→
M A0+−−→
M A·−−→
A0B.
A0 est le sym´etrique deApar rapport `aO, donc [AA0] est un diam`etre du cercle, donc les droites (AB) et (A0B) sont perpendiculaires.
M ∈(AB) donc−−→
M B est colin´eaire `a −−→
AB, donc−−→
M A·−−→
A0B = 0 (2) Voir le cours.
(3) On se place dans le triangle M AA0. O est le milieu de [AA0] donc selon le th´eor`eme de la m´ediane : M A2+M B2= 2M O2+12AA02.
CommeAA0= 2R, on en conclut sur le r´esultat souhait´e.
(4) SiM est `a l’ext´erieur du cercle, alors les points sont align´es dans l’ordreM ABouM BA, dans tous les cas, on a −−→
M A·−−→
M B=A×B, ce qui explique le r´esultat.
Si M est `a l’int´erieur du cercle, alors les points sont align´es dans l’ordreABM donc−−→
M A·−−→
M B =−A×B, ce qui explique le r´esultat.
