(1)1`ere S 12 DST 6 Correction 17 mars 2014 Exercice 1 : (3 points) (1) f est une fonction polynˆome, on a donc f0(x

1`ere S 12 DST 6 Correction 17 mars 2014

Exercice 1 : (3 points)

(1) f est une fonction polynˆome, on a donc f⁰(x) = ^6x2₂⁺⁵ (2) On pose u(x) = x+ 3, on a u⁰(x) = 1 etg⁰(x) = −_(x+3)¹ 2

(3) On poseu(x) = √

xetv(x) =x, on au⁰(x) = ₂^√1_x etv⁰(x) = 1 et donch⁰(x) = ₂^√x_x+√ x=

3 2

√x.

Exercice 2 : (4 points)

(1) f est d´efinie pour x6= 3, on a donc :

Ef =R\ {3}.

(2) Afin de d´eterminer les variations de f, on d´erive cette fonction.

On pose u(x) = −x²+x−4 et v(x) = x−3, on au⁰(x) = −2x+ 1 et v⁰ = 1. Donc : f⁰(x) = (−2x+ 1)(x−3)−(−x² +x−4)

(x−3)² = −x²+ 6x+ 1 (x−3)² ,

Le signe def⁰(x) est le mˆeme que celui du polynˆome−x²+ 6x+ 1. Le discriminant ∆ de ce polynˆome est 40. Les racines sont donc x₁ = −6−√

40

−2 = 3 +√

10 et x₂ = −6 +√ 10

−2 = 3−√

10.

On remarque que 3 +√

10≈6,17>5 et 3−√

10≈ −0,16, on a donc : x

f⁰(x) f

−5 3−√

10 3 5

− 0 + +

17 4 17

4

2√ 10−5 2√

10−5

−12

−12

(3) En utilisant la formule du cours, l’´equation r´eduite de la tangente est : y= 3

2x+1 2.

Exercice 3 : (6 points)

(1) Vrai, car ^3π₂ = ^π₂ +π.

(2) Faux, on a :

cos 5π

6

= cos π−π

6

=−cosπ 6

=−

√3 2 .

(3) Faux, les angles (~u,~v) et (2~u,3~v) ont mˆemes mesures, mais avec −3~v, les angles ont des mesures oppos´ees.

(4) Vrai :

(~u, ~t) = (~u, ~v) + (~v, ~w) + (w, ~t) =~ π 4 + 2π

3 +5π

6 = 21π

12 = 2π− π

4 =−π 4. (5) Faux sin ^3π₄

=−cos ^3π₄ (6) Faux, cos 2π− ^π₄

= cos ^π₄

=

√ 2 2 .

(7) Faux, Il y a une solution `a la premi`ere ´equation et deux `a la seconde.

(8) Vrai, les solutions sont ^π₄ et ^−3π₄ .

1`ere S 12 DST 6 correction, Page 2 sur 2 2013-2014 (9) Vrai, on sait que cos(x+π) = −cos(x), comme cos est exprim´e au carr´e, le changement

de signes ne modifie pas l’´equation.

Exercice 4 : (4 points)

(1) a. On remarque que ^3π₅ = ₁₀^π + ^π₂, on a donc : cos

3π 5

= cosπ 10+ π

2

=−sinπ 10

= 1−√ 5 4 . b. On en d´eduit que :

cosx= 1−√ 5

4 ⇔x= 3π

5 + 2kπ oux=−3π

5 + 2kπ, avec k∈Z. Dans ]−π;π], on a :

S = 3π

5 ;−3π 5

. (2) On sait que cos²(x) + sin²(x) = 1 pour tout xr´eel.

Comme ₁₀^π est dans ]0;π[, on sait que cos ₁₀^π

>0.

On en d´eduit que

cosπ 10

= s

1− 5−2√ 5 + 1

16 =

p10 + 2√ 5 4

Exercice 5 : (3 points)

On voit que le coefficient directeur de la tangente `a f en 5 est 1, seule la courbe 2 passe par le point (5; 1). La solution est la 2`eme courbe.