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Exercice 1 (2 points). Calculer le dixi`eme polynˆome cyclotomique Φ

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Academic year: 2022

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ULCO 2018 – 2019

M1 Recherche Alg`ebre

Alg`ebre – Examen Documents interdits

Dur´ee : 3h

Exercice 1 (2 points). Calculer le dixi`eme polynˆome cyclotomique Φ

10,Q

.

Exercice 2 (3 points). Soit K un corps de caract´eristique diff´erente de 2 et a, b deux ´el´ements de K

∗

. Montrer qu’on a K( √

a) = K ( √

b) si et seulement si b/a est un carr´e dans K.

Exercice 3 (3 points).

a. Calculer les racines dans C du polynˆome Q = X

2

+ 3X + 1.

Soit α une racine dans R du polynˆome P = X

6

+ 3X

3

+ 1.

b. Montrer que √

5 ∈ Q (α). En d´eduire que [ Q (α) : Q ] est divisible par 2.

c. Montrer que β = α + 1/α est racine de X

3

− 3X + 3. En d´eduire que [ Q (α) : Q ] est divisible par 3.

d. Calculer [ Q (α) : Q ] et en d´eduire que P est irr´eductible sur Q .

Exercice 4 (7 points). On pose K = Q ( √ 2, i).

a. D´eterminer [K : Q ].

b. On pose α = √ 2 + i.

i. Calculer α

−1

puis montrer que i et √

2 sont des ´el´ements de Q (α).

ii. En d´eduire K = Q (α).

c. Montrer que l’extension K/ Q est galoisienne.

d. D´ecrire avec leurs ordres les ´el´ements du groupe de Galois G = Gal(K/ Q ).

e. Donner la liste des sous-extensions de K/ Q ainsi que les sous-groupes de G associ´es.

f. Quel est le polynˆome minimal de α sur Q ?

Exercice 5 (5 points). Le but de cet exercice est de trouver un g´en´erateur de F

∗25

ainsi que son polynˆome minimal sur F

5

.

a. Montrer que X

2

− 2 est irr´eductible dans F

5

[X].

Posons K = F

5

[X]/(X

2

− 2) et α = X ∈ K.

b. Montrer que K est un corps d’ordre 25 et trouver l’ordre de α dans K

∗

.

c. Montrer que les ´el´ements d’ordre 3 dans K

∗

sont les racines du polynˆomes P = X

2

+ X + 1.

d. Exprimer les racines de P dans K sous la forme a + bα (avec a, b ∈ F

5

).

e. Trouver un g´en´erateur de K

∗

ainsi que son polynˆome minimal sur F

5

.

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