TS6 DS 7 : Correction 29 mars 2019
Exercice 1 : Pour s’´echauffer (25 minutes) (41/2 points)
1. D´eterminer une primitive de f :x7→2x+ 3 etg:x7→ x22x+1 d´efinies surR 2. Soitf d´efinie surRparf(x) = (4x+ 9)e4x−1.
(a) Montrer queF d´efinie surRparF(x) = (x+ 2)e4x−1 est une primitive de f (b) En d´eduire
Z 5 2
f(x)dx
3. Dans un rep`ere orthonorm´e (O;~i;~j;~k), on consid`ere les pointsA(1;−2; 3),B(−1; 0; 1) etC(2; 1; 0).
Calculer, au dixi`eme pr`es, une mesure de l’angle \ABC
4. Dans un rep`ere orthonorm´e (O;~i;~j;~k), on consid`ere ~u(2; 3; 6) et ~v(3; 2; 3), d´eterminer un vecteur normal `a ~u et~v
Solution:
1. Une primitive de f estF d´efinie par F(x) =x2+ 3x.
Une primitive degest Gd´efinie par G(x) = ln(x2+ 1).
2. (a) F0(x) = e4x−1+ 4(x+ 2)e4x−1 = (4x+ 9)e4x−1; (b)
Z 5 2
f(x)dx=F(5)−F(2) = 7e17−4e5. 3. −−→
BA·−−→
BC = 2×3−2×1 + 2× −1 = 6−2−2 = 2.
BA=√
22+ 22+ 22 =√
12 = 2√ 3.
BC=√
32+ 12+ 12 =√ 11.
cos
\ABC
=
−−→ BA·−−→
BC BA×BC. Donc\ABC ≈80 degr´e.
4. Soit−→n(a;b;c).
(~n·~u= 0
~n·~v= 0 ⇔
(2a+ 3b+ 6c= 0 3a+ 2b+ 3c= 0 ⇔
(2a+ 3b+ 6c= 0
4a+b= 0 ⇔
(6c=−2a+ 12a
b=−4a ⇔
(c= 53a b=−4a . Aveca= 3, on obtient le vecteur ~n(3;−12; 5) qui est normal `a~u et~v.
Exercice 2 : Probl`eme int´egrale (40 minutes) (61/2 points) On consid`ere la fonctiong d´efinie pour tout r´eelx de
l’intervalle [0 ; 1] par :g(x) = 1 + e−x.
On admet que, pour tout r´eelxde l’intervalle [0 ; 1], g(x)>0.
Le but de cet exercice est de partager le domaineD en deux domaines de mˆeme aire, d’abord par une droite parall`ele `a l’axe des ordonn´ees (partie A), puis par une droite parall`ele `a l’axe des abscisses (partie B).
On note C la courbe représentative de la fonction g dans un repère orthogonal, etDle domaine plan com- pris d’une part entre l’axe des abscisses et la courbeC, d’autre part entre les droites d’équationx=0 etx=1.
La courbe C et le domaine D sont représentés ci- contre.
1 2
1
C D
x y
0
Le but de cet exercice est de partager le domaineDen deux domaines de même aire, d’abord par une droite parallèle à l’axe des ordonnées (partie A), puis par une droite parallèle à l’axe des abscisses (partie B).
Partie A
Soitaun réel tel que 0!a!1.
On noteA1l’aire du domaine compris entre la courbe C, l’axe (Ox),les droites d’équationx=0 etx=a, puis A2celle du domaine compris entre la courbeC, (Ox) et les droites d’équationx=aetx=1.
A1etA2sont exprimées en unités d’aire.
1 2
1
A1 A2
C
a x
y
0
1. a. Démontrer queA1=a−e−a+1.
b. ExprimerA2en fonction dea.
2. Soitf la fonction définie pour tout réelxde l’intervalle [0 ; 1] par : f(x)=2x−2e−x+1
e.
a. Dresser le tableau de variation de la fonction f sur l’intervalle [0 ; 1]. On précisera les valeurs exactes def(0) etf(1).
b. Démontrer que la fonctionf s’annule une fois et une seule sur l’intervalle [0 ; 1]. en un réelα.
Donner la valeur deαarrondie au centième.
3. En utilisant les questions précédentes, déterminer une valeur approchée du réelapour lequel les airesA1etA2sont égales.
Partie B
Soitbun réel positif.
Dans cette partie, on se propose de partager le domaineD en deux domaines de même aire par la droite d’équationy=b. On admet qu’il existe un unique réelbpositif solution.
1. Justifier l’inégalitéb<1+1
e. On pourra utiliser un argument graphique.
2. Déterminer la valeur exacte du réelb. *
3
Partie A
TS 6 DS 7 Page 2 sur 5
On noteC la courbe représentative de la fonctiong dans un repère orthogonal, etDle domaine plan com- pris d’une part entre l’axe des abscisses et la courbeC, d’autre part entre les droites d’équationx=0 etx=1.
La courbe C et le domaine D sont représentés ci- contre.
1 2
1
C D
x y
0
Le but de cet exercice est de partager le domaineDen deux domaines de même aire, d’abord par une droite parallèle à l’axe des ordonnées (partie A), puis par une droite parallèle à l’axe des abscisses (partie B).
Partie A
Soitaun réel tel que 0!a!1.
On noteA1l’aire du domaine compris entre la courbe C, l’axe (Ox),les droites d’équationx=0 etx=a, puis A2celle du domaine compris entre la courbeC, (Ox) et les droites d’équationx=aetx=1.
A1etA2sont exprimées en unités d’aire.
1 2
1
A1 A2
C
a x
y
0
1. a. Démontrer queA1=a−e−a+1.
b. ExprimerA2en fonction dea.
2. Soitf la fonction définie pour tout réelxde l’intervalle [0 ; 1] par : f(x)=2x−2e−x+1
e.
a. Dresser le tableau de variation de la fonctionf sur l’intervalle [0 ; 1]. On précisera les valeurs exactes def(0) etf(1).
b. Démontrer que la fonction f s’annule une fois et une seule sur l’intervalle [0 ; 1]. en un réelα.
Donner la valeur deαarrondie au centième.
3. En utilisant les questions précédentes, déterminer une valeur approchée du réelapour lequel les airesA1etA2sont égales.
Partie B
Soitbun réel positif.
Dans cette partie, on se propose de partager le domaineDen deux domaines de même aire par la droite d’équationy=b. On admet qu’il existe un unique réelbpositif solution.
1. Justifier l’inégalitéb<1+1
e. On pourra utiliser un argument graphique.
2. Déterminer la valeur exacte du réelb. *
3
1. a. D´emontrer queA1 =a−e−a+ 1.
b. ExprimerA2 en fonction de a.
2. Soitf la fonction d´efinie pour tout r´eel x de l’intervalle [0 ; 1] par : f(x) = 2x−2 e−x+ 1
e.
a. Dresser le tableau de variation de la fonction f sur l’intervalle [0 ; 1]. On pr´ecisera les valeurs exactes de f(0) et f(1).
b. D´emontrer que la fonction f s’annule une fois et une seule sur l’intervalle [0 ; 1]. en un r´eel α. Donner la valeur de α arrondie au centi`eme.
3. En utilisant les questions pr´ec´edentes, d´eterminer une valeur ap- proch´ee du r´eelapour lequel les aires A1 etA2 sont ´egales.
Partie B
Soit bun r´eel positif.
Dans cette partie, on se propose de partager le domaine D en deux domaines de mˆeme aire par la droite d’´equation y=b. On admet qu’il existe un unique r´eel bpositif solution.
1. Justifier l’in´egalit´e b <1 +1
e. On pourra utiliser un argument graphique.
2. D´eterminer la valeur exacte du r´eelb.
Solution:
Partie A
1. a. Soit Gla fonction d´efinie sur [0 ; 1] par G(x) =x−e−x est d´erivable sur cet intervalle et G0(x) = 1−(−e−x) = 1 + e−x : c’est donc une primitive deg.
Donc A1= Z a
0
g(x) dx= [G(x)]a0 =
x−e−xa
0 =a−e−a− 0−e−0
=a+ 1−e−a. b. A2 =
Z 1 a
g(x) dx= [G(x)]1a=
x−e−x1
a= 1−e−1− a−e−a
= 1−a+ e−a−e−1. 2. a. Somme de fonctions d´erivables sur [0 ; 1],f est d´erivable sur cet intervalle et :
f0(x) = 2 + 2e−x
Les deux termes de cette somme sont positifs, donc sur [0 ; 1], f0(x) > 0 et la fonction f est croissante sur [0 ; 1] de f(0) =−2 + 1
e ≈ −1,63 `a f(1) = 2−2e−1+1
e = 2− 2 e +1
e = 2−1
e ≈1,63. D’o`u le tableau de variation :
Corrigé du baccalauréat S A. P. M. E. P.
x 0 1
+
1e−2
2−1e f′(x)
f(x)
b. Sur [0; 1],f croît def(0)≈ −1,6 àf(1)≈1,6. Comme elle est croissante et continue elle s’annule une seule fois sur l’intervalle [0; 1] pour un réelαtel quef(α)=0.
La calculatrice permet de trouver que :
0,4<α<0,5, puis 0,45<α<0,46 et enfin 0,452<α<0,453.
Doncα≈0,45 au centième près.
3. On a :
A1=A2 ⇐⇒ a+1−e−a=1−a+e−a−e−1 ⇐⇒ 2a−e−a+e−1=0, ce qui signifie queaest une solution de l’équationf(x)=0 sur [0; 1].
On a vu que cette solution est égale àα.
Finalement les aires sont égales poura=α≈0,45.
Partie B
1. On ag(0)=1+1=2. Il est donc évident que l’aire du domaineDest inférieure à 2×1=2.
Commeg(1)=1+e−1, sib!1+e−1chacune des deux aires serait supérieure à 1 ce qui est impossible.
Doncb<1+1 e
2. L’aire du domaine du bas est égale àb×1=bqui est égale à la demi-aire deD.
On a donc : b=12
!1
0 g(x) dx=1
2[G(x)]10=1 2
"
x−e−x#1 0=1
2
"
1−e−1+e0# . Finalementb=12$
2−e−1%
=1−e−12 ≈0,816.
Exercice 4 5 points
Candidats n’ayant pas choisi la spécialité mathématique Partie A - Algorithmique et conjectures
1. Affecter àula valeurn×un+1 2(n+1) Affecter ànla valeurn+1.
2. Il faut rajouter avant le Fin Tant que : « Afficher la variableu».
3. La suite (un) semble être décroissante vers 0.
Partie B - Étude mathématique
1. Pour tout entiern!1,vn+1=nun+1−1=(n+1)×n×un+1
2(n+1) −1=n×un+1
2 −2
2=n×un−1
2 =
vn+1=1 2vn.
Cette relation montre que la suite (vn) est géométrique de raison1
2et de premier terme v1=1×u1−1=3
2−1=1 2.
Centres étrangers 3 12 juin 2013
b. Sur [0 ; 1], f croˆıt de f(0)≈ −1,6 `a f(1)≈1,6. Comme elle est croissante et continue elle s’annule une seule fois sur l’intervalle [0 ; 1] pour un r´eelα tel quef(α) = 0.
La calculatrice permet de trouver que :
0,4< α <0,5, puis 0,45< α <0,46 et enfin 0,452< α <0,453.
Donc α≈0,45 au centi`eme pr`es.
TS 6 DS 7 Page 3 sur 5 3. On a :
A1 =A2 ⇐⇒ a+ 1−e−a= 1−a+ e−a−e−1 ⇐⇒ 2a−e−a+ e−1 = 0, ce qui signifie quea est une solution de l’´equation f(x) = 0 sur [0 ; 1].
On a vu que cette solution est ´egale `a α.
Finalement les aires sont ´egales poura=α≈0,45.
Partie B
1. On a g(0) = 1 + 1 = 2. Il est donc ´evident que l’aire du domaine Dest inf´erieure `a 2×1 = 2.
Comme g(1) = 1 + e−1, si b > 1 + e−1 chacune des deux aires serait sup´erieure `a 1 ce qui est impossible. Donc b <1 +1
e
2. L’aire du domaine du bas est ´egale `a b×1 =bqui est ´egale `a la demi-aire de D.
On a donc : b= 12
Z 1
0
g(x) dx= 1
2[G(x)]10 = 1 2
x−e−x1 0 = 1
2
1−e−1+ e0 . Finalement b= 12 2−e−1
= 1−e−12 .
Exercice 3 : Espace (35 minutes) (6 points)
L’espace est muni d’un rep`ere orthonormal
O ; −→ ı , −→
, −→ k
.
1. On d´esigne par P le plan d’´equation x+y−1 = 0 et par P0 le plan d’´equation y+z−2 = 0.
Justifier que les plansP etP0 sont s´ecants et v´erifier que leur intersection est la droiteD, dont une repr´esentation param´etrique est :
x= 1−t y=t z= 2−t
, o`ut d´esigne un nombre r´eel.
2. a. D´eterminer une ´equation du plan R passant par le point O et orthogonal `a la droiteD. b. D´eterminer les coordonn´ees du pointI, intersection du plan R et de la droite D.
3. Soient A et B les points de coordonn´ees respectives
−1
2 ; 0 ; 1 2
et (1 ; 1 ; 0).
a. V´erifier que les points A et B appartiennent au plan R.
b. On appelle A0 et B0 les points sym´etriques respectifs des points A et B par rapport au point I.
Justifier que le quadrilat`ere ABA’ B’ est un losange.
c. V´erifier que le point S de coordonn´ees (2 ; −1 ; 3) appartient `a la droiteD. d. Calculer le volume de la pyramide SABA0B0.
Solution: espace est muni d’un rep`ere orthonormal
O ; −→ i ; −→
j ; −→ k
. 1. P a pour vecteur normal −→
n(1 ; 1 ; 0) ; P0 a pour vecteur normal−→
n0(0 ; 1 ; 1) : ces vecteurs n’´etant pas colin´eaires, les plans ne sont pas parall`eles ; leur intersection est donc une droiteD dont tous les points de coordonn´ees (x ; y; z) v´erifient :
x+y−1 = 0 y+z−2 = 0 ⇐⇒
x = 1−y z = 2−y ⇐⇒
x = 1−y z = 2−y y = t
(t∈R) Une repr´esentation param´etrique de la droiteD est
x = 1−t z = 2−t y = t
(t∈R)
TS 6 DS 7 Page 4 sur 5 2. a. La droite D contient le point (1 ; 0 ; 2) et a pour vecteur directeur −→
u(−1 ; 1 ; −1) et ce vecteur est normal au plan R.
Une ´equation de ce plan est donc :M(x; y; z)∈R ⇐⇒ −x+y−z= 0 ⇐⇒ x−y+z= 0.
b. R et D ´etant perpendiculaires sont s´ecants en un point dont les coordonn´ees v´erifient les
´
equations deD et de R soit :
x = 1−t
z = 2−t
y = t
x−y+z = 0
⇐⇒
x = 1−t
z = 2−t
y = t
1−t−t+ 2−t = 0
⇐⇒
x = 1−t z = 2−t y = t
1 = t
⇐⇒
x = 0 y = 1 z = 1
1 = t
Conclusion : I(0 ; 1 ; 1)
3. a. A ∈R ⇐⇒ −1
2−0 +−1
2 = 0 qui est vrai ; B∈R ⇐⇒ 1−1 + 0 = 0 qui est vrai.
b. I ´etant le milieu de [AA0] et [BB0], le quadrilat`ere ABA0 B0 est un est un parall´elogramme.
D’autre part :−→
IA
−1
2 ; −1 ; −1 2
et−→
IB (1 ; 0 ; −1).
Donc −→
IA ·−→
IB =−1 2 +1
2 = 0.
Le parall´elogramme a ses diagonales perpendiculaires : c’est un losange c. Le point S correspond bien au point deD de param`etre −1
d. A, B, I, A0et B0sont des points deRet I et S appartiennent `a la droiteD, donc la droite (IS) est la hauteur issue de S de la pyramide L’aire du losange est ´egale au quadruple de l’aire du triangle rectangle IAB. On a IA =
q
1 2
2
+ 1 + 122
= q6
4 =
√6
2 ; IB = √
1 + 1 =√ 2.
Donc aire (ABA0’B0) = 4×1 2 ×
√ 6 2 ×√
2 =√ 12.
La hauteur : −→
IS (2 ; −2 ; 2), d’o`u IS =√
4 + 4 + 4 =√ 12.
Finalement V = 1 3×√
12×√ 12 = 1
3 ×12 = 4.
Exercice 4 : Espace 2 (20 minutes) (3 points)
espace est mini d’un rep`ere O ; −→
ı , −→
, −→ k
.
Soit P le plan d’´equation cart´esienne : 2x−z−3 = 0.
On note Ale point de coordonn´ees 1 ; a; a2
o`u aest un nombre r´eel.
1. Justifier que, quelle que soit la valeur dea, le pointA n’appartient pas au planP.
2. a. D´eterminer une repr´esentation param´etrique de la droiteD(de param`etret) passant par le point Aet orthogonale au plan P.
b. SoitMun point appartenant `a la droiteD, associ´e `a la valeurtdu param`etre dans la repr´esentation param´etrique pr´ec´edente.
Exprimer la distanceAM en fonction du r´eelt.
TS 6 DS 7 Page 5 sur 5
On noteHle point d’intersection du plan P et de la droite D orthogo- nale `a P et passant par le point A.
Le pointHest appel´e projet´e ortho- gonal du pointAsur le planP et la distanceAH est appel´ee distance du point A au planP.
Baccalauréat S A. P. M. E. P.
a. Hachurer le domaineDλ. correspondant à la valeurλproposée sur le graphique en annexe page 8.
b. On noteAλl’aire du domaineDλ, exprimée en unités d’aire. Démontrer que :
Aλ=1−λ+1 eλ .
c. Calculer la limite deAλlorsqueλtend vers+∞et interpréter le résultat.
3. On considère l’algorithme suivant : Variables :
λest un réel positif
Sest un réel strictement compris entre 0 et 1.
Initialisation :
SaisirS
λprend la valeur 0 Traitement :
Tant Que 1−λ+1
eλ <Sfaire λprend la valeurλ+1 Fin Tant Que
Sortie :
Afficherλ
a. Quelle valeur affiche cet algorithme si on saisit la valeurS=0,8?
b. Quel est le rôle de cet algorithme ?
EXERCICE2 3 points
Commun à tous les candidats L’espace est mini d’un repère!
O,→−ı ,−→ ȷ ,→−
k"
. SoitPle plan d’équation cartésienne : 2x−z−3=0.
On noteAle point de coordonnées#
1 ;a;a2$
oùaest un nombre réel.
1. Justifier que, quelle que soit la valeur dea, le pointAn’appartient pas au plan P.
2. a. Déterminer une représentation paramétrique de la droiteD (de para- mètret) passant par le pointAet orthogonale au planP.
b. SoitMun point appartenant à la droiteD, associé à la valeurtdu para- mètre dans la représentation paramétrique précédente.
Exprimer la distanceAMen fonction du réelt.
On noteHle point d’intersec- tion du plan Pet de la droite D orthogonale àPet passant par le point A. Le point H est appelé projeté orthogonal du point Asur le planPet la dis- tance AHest appelée distance
du pointAau planP. P H
A D
Métropole 2 21 juin 2017
3. Existe-t-il une valeur de a pour laquelle la distance AH du point A de coordonn´ees 1 ; a ; a2 au planP est minimale ? Justifier la r´eponse.
Solution:
1. 2xA−zA−3 = 2−a2−3 =−1−a2 <0 donc A n’appartient pas `a P (puisque ses coordonn´ees ne v´erifient pas l’´equation de P).
2. a. −→v
2 0
−1
est un vecteur normal `a P; c’est aussi un vecteur directeur de D.
Dpasse par A donc une repr´esentation param´etrique de Dest :
x= 1 + 2t y=a z=a2−t
, t∈R
b. Soit M un point appartenant `a la droiteD, associ´e `a la valeurtdu param`etre dans la repr´esentation param´etrique pr´ec´edente.
−−→AM
2t
0
−t
; on en d´eduit que AM =p
(2t)2+ (−t)2 =
√
5t2=|t|√
5 ; AM =|t|√ 5 3. H appartient `a la droiteD et au planP.
H est associ´e `a un nombre tH, solutio n du syst`eme :
x= 1 + 2t y=a z=a2−t 2x−z−3 = 0
⇐⇒
x= 1 + 2t y =a z=a2−t
2 + 4t−a2+t−3 = 0
⇐⇒
x= 1 + 2t y =a z=a2 t= a2+ 1
5 .
H est donc associ´e `a la valeurtH = a2+ 1 5 . On a alors :AH =|tH|√
5 = a2+ 1
√ 5 .
a7→a2+ 1 admet un minimum poura= 0 donc la distance de A au plan P est minimum poura= 0 et vaut alors 1
√5
