new.tangentes

(1)

DOCUMENT 18

Repr´ esentations param´ etriques des coniques ; applications aux tangentes.

Chaque conique possède une équation cartésienne de la forme P (x, y) = 0, où P est un polynôme du second degré en x et y. Nous allons voir ici que les coniques ont aussi des représentations paramétriques qui sont très utiles pour montrer l’existence des tangentes et

´

etudier leurs propri´et´es.

1. La parabole

Soit P une parabole. Il existe un rep`ere orthonorm´e (O,−→ i ,−→

j ) dans lequel elle poss`ede l’´equation y = x²

2p, où p est la distance de son foyer à sa directrice. Dans le repère (O,−→ i ,−→

j ), P est donc la courbe d’´equations param´etriques x(t) = t, y(t) = t²

2p avec t ∈ R.

2. L’ellipse et l’hyperbole

2.1. Un lemme technique. Avant d’aborder l’ellipse et l’hyperbole, d´emontrons un lemme.

Lemme 18.1. Soit A et B deux nombres r´eels.

(1) Il y a ´equivalence entre (a) A²+ B² = 1;

(b) Il existe t ∈ R tel que A = cos t, B = sin t.

(2) Il y a ´equivalence entre (a) A²− B² = 1;

(b) il existe t ∈] − π 2,π

2[∪]π 2, 3π

2[ tel que A = 1

cos t, B = tan t.

(3) Il y a ´equivalence entre (a) A²− B² = 1;

(b) il existe t ∈ R tel que A = ε cosh t et B = sinh t avec ε = 1 si A ≥ 1 et ε = −1 sinon.

Preuve. 1) Il est clair que si A = cos t et B = sin t alors A²+B²= 1. Supposons A²+B²= 1.

On a A² = 1 − B² ≤ 1 d’o`u |A| ≤ 1. La fonction cosinus ayant pour image [−1, 1], il existe t ∈ R tel que A = cos t. On a B² = 1 − cos²t = sin²t. Si B = sin t, t convient et sinon B = − sin t = sin(−t). Comme cos(−t) = cos t = A, −t convient.

Les fonctions sinus et cosinus ´etant 2π-p´eriodiques, on peut dans (b) prendre t ∈ [0, 2π[ ou dans tout intervalle [t0, t0+ 2π[.

199

(2)

2). Si A = 1

cos t et B = tan t alors, par la relation 1

cos²t − tan²t = 1, on a A²− B² = 1.

R´eciproquement supposons A²− B² = 1. On a A² = 1 + B² 6= 0 d’o`u 1 = (1

A)²+ (B

A)². Il existe t ∈ [0, 2π[ tel que 1

A = cos t et B

A = sin t d’o`u A = 1

cos t et B = A sin t = tan t. Comme A 6= 0 on a t 6= π

2, t 6= 3π

2 et donc t ∈ [0,π 2[∪]π

2, 3π 2[∪]3π

2, 2π[. En utilisant la 2π-p´eriodicit´e, on peut prendre t dans ] −π

2,π 2[∪]π

2, 3π 2[.

Dans cette partie de la preuve on peut aussi utiliser la relation 1

cos²t− tan²t = 1.

3). La relation cosh²t − sinh²t = 1 entraine que si A = ε cosh t et B = sinh t, ε = ±1, alors A²− B² = 1. Supposons maintenant A² − B² = 1. On a |A| ≥ 1. Si A ≥ 1 alors, l’image de R⁺ par la fonction cosinus hyperbolique ´etant [1, +∞[, il existe t ≥ 0 tel que A = cosh t. On a B² = sinh²t et donc, si B ≥ 0, t convient car sinh t ≥ 0. Sinon B = − sinh t = sinh(−t) et on a aussi A = cosh(−t). Maintenant si A ≤ −1 alors il existe t tel que −A = cosh t et B = sinh t (car (−A)²− B² = 1). On a dans les deux cas, A = ε cosh t et B = sinh t avec ε = 1 si A ≥ 1 et ε = −1 sinon.

2.2. L’ellipse. Soit E une ellipse. Il existe un rep`ere orthonorm´e (O,−→ i ,−→

j ) dans lequel E est la courbe d’´equation

x² a² +y²

b² = 1.

Le lemme 18.1 entraine qu’un point M de coordonnées (x, y) appartient à E si et seulement si il existe t ∈ R (ou t ∈ [0, 2π[) tel que x = a cos t et y = b sin t. Dans le repère (O,−→

i ,−→

j ), E est donc la courbe d’´equations param´etriques

x(t) = a cos t, y(t) = b sin t, t ∈ [0, 2π[.

Remarques. 1). Une représentation paramétrique du cercle de centre O et de rayon a est obtenue avec a = b dans la représentation paramétrique précédente. Tout résultat concernant l’ellipse, prouvé en utilisant uniquement cette représentation paramétrique, sera donc aussi valable pour le cercle en prenant a = b. Ce sera par exemple le cas pour l’équation de la tangente en un point.

2). On peut obtenir une construction à la régle et au compas d’une ellipse E donnée par ses quatre sommets A, A⁰,B, et B⁰à partir de sa représentation paramétrique précédente de la fa¸con suivante.

(3)

2. L’ELLIPSE ET L’HYPERBOLE 201

(1) Soit O le milieu de [AA⁰]. On trace les cercles de centre O et de rayons OA et OB qui sont le cercle principal et le cercle secondaire de E .

(2) On choisit un point M du cercle principal qui n’est pas situ´e sur un axe de E. Soit θ une mesure de ( \−→

OA,−−→

OM ) et N le point d’intersection de [OM ] avec le cercle secondaire. Avec OA = a et OB = b, les coordonn´ees de M dans (O,

−→OA a ,

−−→ OB

b ) sont (a cos θ, a sin θ) et celles de N , (b cos θ, b sin θ).

(3) On trace la parallèle à OA passant par N et la parallèle à OB passant par M . Si P est le point d’intersection de ces deux droites alors ses coordonnées sont (a cos θ, b sin θ). C’est donc un point de E. On obtient ainsi tout point de E, distinct d’un sommet.

2.3. L’hyperbole. Soit H une hyperbole. Il existe un rep`ere orthonorm´e (O,−→ i ,−→

j ) dans lequel H est la courbe d’´equation

x² a² −y²

b² = 1.

Le lemme 18.1 entraine qu’un point M de coordonn´ees (x, y) appartient `a H si et seulement si il existe t ∈] −π

2,π 2[∪]π

2, 3π

2[ tel que x = a

cost et y = b tan t. Dans le rep`ere (O,−→ i ,−→

j ), H est donc la courbe d’´equations param´etriques

x(t) = a

cos t, y(t) = b tan t, t ∈] − π 2,π

2[∪]π 2, 3π

2[.

En changeant t en t + π

2 on obtient une autre repr´esentation param´etrique de H : x(t) = a

sin t, y(t) = −b cot t, t ∈]0, π[∪]π, 2π[.

Posons pour t 6= kπ, k ∈ Z, u = tant

2. La représentation paramétrique précédente devient x(u) = a1 + u²

2u , y(u) = bu²− 1

2u , u ∈ R^∗.

On peut obtenir cette représentation paramétrique par une autre méthode et cette seconde méthode donne une interprétation du paramètre u.

Soit, pour u 6= 0, Dula droite d’´equation x a−y

b = 1

u. La droite Du est parallèle à l’asymptote de H d’équation x

a−y b = 0.

Les éléments de H ∩ Du ont pour coordonnées les solutions du système :

(4)









 x a− y

b = 1 u x²

a² −y² b² = 1 En remarquant que x²

a² −y² b² = (x

a− y b)(x

a+y

b), on voit que ce système équivaut à









 x a−y

b = 1 u x

a+y b = u et on obtient x = au²+ 1

2u , y = bu²− 1

2u . Tout point de H qui appartient `a une droite D_u a donc des coordonn´ees de la forme x = au²+ 1

2u , y = bu²− 1

2u avec u 6= 0. On vérifie facilement que tout point ayant des coordonnées de cette forme appartient à H et donc on a retrouvé la représentation paramétrique précédente.

En utilisant la partie 3) du lemme 18.1 on obtient une repr´esentation param´etrique de chacune des branches de H

x(t) = εa cosh t, y(t) = b sinh t, t ∈ R, ε = ±1

(ε = 1 donne la représentation paramétrique d’une branche et ε = −1 de l’autre branche.) Les fonctions cosinus et sinus hyperboliques permettent donc de donner une représentation paramétrique de l’hyperbole. C’est là l’origine de leurs noms.

Remarque. L’hyperbole est une partie non connexe du plan. En effet soit H une hyperbole.

Il existe un rep´ere (O,−→ i ,−→

j ) (en général ni orthogonal, ni normé) dans lequel H est la courbe d’équation xy = 1. Soit A = {(x, y) | x > 0, y > 0} et B = {(x, y) | x < 0, y < 0}. Ce sont des ouverts disjoints non vides et H = (H ∩ A) ∪ (H ∩ B).

Si f est une application continue de D_f ⊂ R dans le plan avec pour image H alors Df n’est pas un connexe de R, c’est-à-dire n’est pas un intervalle. On peut le vérifier sur chacune des représentations paramétriques de l’hyperbole données ici.

3. Applications aux tangentes

3.1. Existence et équations des tangentes aux coniques. Chacune des trois coniques possède une représentation paramétrique t 7→ (x(t), y(t)) dérivable et de fonction dérivée jamais nulle. Toute conique possède donc en chaque point M (t) une tangente dirigée par le vecteur de composantes (x⁰(t), y⁰(t)). On a déjà donné l’équation de la tangente à une parabole (Document 16). Pour l’ellipse d’équation réduite x²

a² + y²

b² = 1, l’´equation de la tangente au point de coordonn´ees (xo, yo) est

xx0

a² +yy0

b² = 1.

et pour l’hyperbole d’´equation r´eduite x² a² −y²

b² = 1,

(5)

3. APPLICATIONS AUX TANGENTES 203

xx0

a² −yy0

b² = 1.

Les preuves sont très semblables à celle utilisée pour la parabole.

A partir de ces ´equations on obtient celles des normales qui sont respectivement pour l’ellipse et l’hyperbole,

(x − x0)y0

b² − (y − y₀)x0

a² = 0, (x − x0)y0

b² + (y − y0)x0

a² = 0.

Remarque. Les trois coniques possèdent dans tout repère R une équation cartésienne de la forme P (x, y) = 0, P étant un polynôme de degré 2 (voir document 20 ). La fonction (x, y) → P (x, y) étant de classe C¹, la conique d’équation P (x, y) = 0 possède en chaque point non singulier de coordonnées (x0, y0) dans R une tangente d’équation

(x − x₀)∂P

∂x(x₀, y₀) + (y − y₀)∂P

∂y(x₀, y₀) = 0.

(non singulier : l’une au moins des d´eriv´ees partielles n’est pas nulle) Si par exemple, P (x, y) = x²

a² +y²

b² − 1 on obtient pour l’´equation de la tangente (x − x0)2x0

a² + (y − y0)2y0

b² = 0.

Après quelques calculs, on retrouve l’équation de la tangente déjà obtenue à partir de la représentation paramétrique. L’inconvénient de cette méthode est que d’une part, elle n’utilise pas les représentations paramétriques et que d’autre part, les outils mathématiques mis en jeu (théorème des fonctions implicites,...) ne sont pas au programme de l’oral du CAPES.

3.2. Propriétés des tangentes. En utilisant la dérivation vectorielle, l’existence pour chaque conique d’une représentation paramétrique t 7→ (x(t), y(t)), dérivable et de fonction dérivée jamais nulle permet d’obtenir les propriétés suivantes des tangentes :

Proposition 18.1. a) Soit C une conique définie par une directrice D, un foyer F , une excentricité e et soit M ∈ C. Si M appartient à l’axe focal alors la tangente en M est parallèle à la directrice et sinon, la tangente en M , la directrice et la perpendiculaire en F à F M sont concourantes.

b) Soit E une ellipse de foyers F et F⁰. La tangente en un point M est la bissectrice ext´erieure de la paire de demi-droites {(M,−−→

M F ), (M,−−−→ M F⁰)}.

c) Soit H une hyperbole de foyers F et F⁰. La tangente en un point M est la bissectrice int´erieure de la paire de demi-droites {(M,−−→

M F ), (M,−−−→ M F⁰)}.

Preuve.

Soit Γ = C(F, D, e) une conique de foyer F , de directrice D et d’excentricité e. On a vu que cette conique possède un paramétrage de classe C¹ et régulier t → M (t). L’ensemble de définition de ce paramétrage est un intervalle pour la parabole et l’ellipse et une réunion de deux intervalles disjoints dans le cas de l’hyperbole.

a) Si un point M de Γ n’appartient pas à l’axe focal alors la tangente à Γ en M rencontre D en un point noté I (vérification facile avec l’équation de la tangente). Posons −−→

M I = a

−−→ dM dt , a 6= 0, et consid´erons l’application t → F M (t)−eM (t)H(t) o`u H(t) est la projection orthogonale

(6)

de M (t) sur D. Par d´efinition de Γ cette application est identiquement nulle d’o`u d

dt(F M (t) − eM (t)H(t)) = 0. On a, en ne faisant plus apparaˆıtre la variable t,

0 = d

dt(F M − eM H) =

−−→F M F M.

−−→ dM

dt − e

−−→M H

M H.d(−−→

M H) dt

=

−−→F M F M.

−−→ dM

dt − e

−−→M H M H(

−→dH dt −

−−→ dM dt )

=

−−→F M F M.

−−→ dM

dt + e

−−→M H M H

−−→ dM dt (car H ∈ D implique

−→dH dt ∈−→

D et donc

−→dH

dt ⊥−−→

M H)

=

−−→F M .−−→ M I M F + e

−−→M H.−−→ M I M H

=

−−→F M .−−→ M I

M F +M H² M H =

−−→F M .−−→ M I

M F + eM H

=

−−→F M .−−→ M I

M F + F M =−−→

F M .−−→

M I + M F². (par multiplication des deux membres par M F , le premier ´etant 0)

Finalement M F² =−−→

M F .−−→

M I = −−→

M F (−−→

M F +−→

F I) = M F²+−−→

M F .−→

F I d’o`u −−→

M F .−→

F I = 0 et le vecteur −−→

M F est orthogonal au vecteur −→

F I. La droite F I est donc la perpendiculaire en F `a F M . La directrice D , la tangente en M et F I sont concourantes en I.

Maintenant si M est sur l’axe focal, l’examen de l’équation de la tangente montre qu’elle est perpendiculaire à l’axe focal et donc parallèle à la directrice.

Remarque. On peut aussi faire une preuve analytique de ce résultat en supposant encore que Γ est défini à l’aide d’un paramétrage régulier de classe C¹.

Soit R un repère orthonormé ayant pour axe des abscisses une directrice D de Γ et pour axe des ordonnées son axe focal. Si les coordonnées du foyer F associé à D sont (0, f ) alors un point M ∈ Γ si et seulement M F² = e²M H² en notant H la projection de M sur D. Si M a pour coordonnées (x, y), cela équivaut à

x² = e²y²− (y − f )². (∗)

(x et y sont des fonctions du param`etre t que l’on ne fait pas apparaˆıtre pour simplifier les

´

ecritures)

L’´equation de la tangente en M est

y⁰(X − x) − x⁰(Y − y) = 0.

Si M n’appartient pas `a l’axe focal de Γ alors y⁰ 6= 0 et cette tangente rencontre l’axe des abscisses en un point I d’abscisse τ = x −x⁰y

y⁰ obtenu en faisant Y = 0 dans son ´equation. On a

−→ F I.−−→

F M = (x − x⁰y

y⁰ )x − f (y − f ) = x²− x⁰xy

y⁰ − f y + f² (∗∗).

(7)

En d´erivant (∗) on obtient x⁰x = e²y⁰y − y⁰(y − f ) et en reportant cette valeur dans (∗∗) on a finalement −→

F I.−−→

F M = x²− e²y²+ (y − f )²= 0. Les vecteurs −→

F I et −−→

F M sont orthogonaux.

Construction de la tangente en M `a la r`egle et au compas.

Si le point M est sur l’axe focal, il n’y a aucun problème. Sinon, on trace la droite F M puis on construit la perpendiculaire en F à F M . Cette droite rencontre D en un point I et M I est la tangente en M . Dans le cas de la définition monofocale de l’ellipse ou de l’hyperbole, c’est la construction d’un point de ces coniques à la règle ou au compas qui est un peu longue.

b) On suppose que Γ est maintenant une ellipse de foyers F et F⁰. La fonction t → F M (t) + F⁰M (t) étant constante, sa dérivée est nulle d’où

0 = d

dt(F M (t) + F⁰M (t)) =

−−→F M F M

−−→ dM

dt +

−−−→ F⁰M F⁰M

−−→ dM

dt = (

−−→F M F M +

−−−→ F⁰M F⁰M)

−−→ dM dt . La tangente en M , dirig´ee par le vecteur non nul

−−→ dM

dt , est donc orthogonale au vecteur non nul

−−→F M F M +

−−−→ F⁰M

F⁰M qui est un vecteur directeur de la bissectrice int´erieure de la paire de demi-droites {(M,−−→

M F ), (M,−−−→

M F⁰)}. C’est donc la bissectrice ext´erieure de cette paire de demi-droites.

c) Si Γ est une hyperbole de foyer F et F⁰, d’axe focal de longueur 2a, alors l’application continue t → F M (t) − F⁰M (t) ne prend que deux valeurs, 2a et −2a. Par application du théorème des valeurs intermédiaires, on voit que cette application doit être constante sur chacun des intervalles de son ensemble de définition. Sa dérivée est donc nulle et le même calcul que dans le cas de l’ellipse montre que la tangente en M est orthogonale au vecteur

−−→F M F M−

−−−→ F⁰M F⁰M qui dirige la bissectrice ext´erieure de la paire de demi-droites {(M,−−→

M F ), (M,−−−→

M F⁰)}. C’est donc la bissectrice int´erieure de cette paire de demi-droites.

Cette d´emonstration suppose que M n’est pas un sommet de l’hyperbole car sinon

−−→F M F M −

−−−→ F⁰M

F⁰M = 0. Si M est un sommet la tangente en M est parallle `a la directrice et donc orthogonale

`

a l’axe focal. C’est encore la bissectrice int´erieure de {(M,−−→

M F ), (M,−−−→ M F⁰)}.

Preuve analytique de b) et c). Une d´emonstration analytique de b) et c) est facile si l’on connait la caract´erisation suivante des bissectrices d’un triangle.

Proposition 18.2. Soit ABC un triangle (non applati) avec AB 6= AC, D1 et D₂ deux droites passant par A et O le milieu de [BC]. Les affirmations suivantes sont ´equivalentes :

a) Dans le triangle ABC, D₁ est la bissectrice int´erieure issue de A et D₂ la bissectrice ext´erieure ;

(8)

b) D1 rencontre la droite BC en I, barycentre de {(B, AC), (C, AB)} et D2 rencontre BC en J , barycentre de {(B, AC), (C, −AB)};

c) D₁ rencontre la droite BC en I 6= C, D₂ rencontre BC en J 6= C et −IB IC = J B

J C = AB

; AC

d) D1 rencontre la droite BC en I ∈]BC[, D2 rencontre BC en J 6∈ [BC], D1 et D2 sont orthogonales et OB²= OI . OJ .

Preuve. a) ⇔ b). Si I est le barycentre de {(B, AC), (C, AB)} alors

−→

AI = AC

AB + AC

−−→

AB + AB

AB + AC

−→AC = AB.AC AB + AC(

−−→ AB AB +

−→AC AC),

ce qui montre que I appartient `a la bissectrice int´erieure issue de A dans le triangle ABC.

La d´emonstration avec D₂ est analogue et par unicit´e du barycentre on a b) ⇒ a).

b) ⇒ c). Il est clair que I 6= C, J 6= C et les ´egalit´es −IB

IC = J B

J C = AB

AC sont des conséquences immédiates de la définition du barycentre.

c) ⇒ d). Par −IB

IC = AB

AC on a I ∈]BC[ et J B

J C = AB

ACentraine J 6∈ [BC]. D’autre part IB

IC = J B

J C = AB

AC montre que A appartient au cercle de diamˆetre [IJ ], ensemble des points dont le rapport des distances `a B et C est constant (et vaut ici AB

AC). Il en résulte que la droite AI est orthogonale à la droite AJ . La preuve de OB² = OI . OJ s’obtient à partir de

−IB . J C = IC . J B par la relation de Chasles utilis´ee avec le point O.

d) ⇒ a) En utilisant la relation de Chasles on d´eduit de OB² = OI . OJ que −IB IC = J B

J C (*).

Les droites D₁ et D₂ étant orthogonales, le point A appartient au cercle de diamètre [IJ ] qui d’après (*) est l’ensemble des points dont le rapport des distances aux points B et C est constant.

On a donc IB IC = J B

J C = AB

AC. Par I ∈]BC[, on a IB

IC < 0 et J 6∈ [BC] entraine J B

J C > 0. Il en r´esulte que −IB

IC = J B

J C = AB

AC d’o`u AC−→

IB + AB−→

IC = 0 et AC−→

J B + (−AB)−→

J C = 0 ce qui montre que I est le barycentre de {(B, AC), (C, AB)} et J le barycentre de {(B, AC), (C, −AB)}.

On a donc b) et, par a) ⇔ b), on a montr´e a).

Remarque. L’hypoth`ese AB 6= AC est inutile pour montrer l’´equivalence de

• Dans le triangle ABC, D₁ est la bissectrice int´erieure issue de A ;

• D₁ rencontre la droite BC en I, barycentre de {(B, AC), (C, AB)}.

L’équivalence entre ces affirmations est très utile pour montrer que les bissectrices intérieures d’un triangle sont concourantes en un point situé à l’intérieur de ce triangle. En effet soit D le barycentre de {(A, BC), (B, AC), (C, AB)} et I le barycentre de {(B, AC), (C, AB)}. La bissectrice intérieure issue de A passe par I et donc aussi par D qui est le barycentre de {(I, (AB+

AC)), (A, BC)}. De même les deux autres bissectrices passent par D qui est à l’intérieur du triangle, les poids AB, BC et AC étant positifs.

Retour à une preuve analytique de b) et c). On va montrer c), la preuve de b) étant analogue en dehors du fait qu’il faut considérer les tangentes en un point M distinct d’un

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sommet de l’axe non focal, en raison de la condition AB 6= AC dans la proposition 18.2. Dans les deux cas, la preuve suppose que M n’est pas un sommet de l’axe focal car sinon le triangle M F F⁰ est applati. Pour ces points, une preuve directe est imm´ediate.

Soit donc R un repère dans lequel H possède l’équation réduite x² a² −y²

b² = 1 et M (x0, y0), y₀ 6= 0, un point de H. En utilisant l’quation de la tangente en M on voit qu’elle rencontre l’axe Ox au point I d’abscisse x_I = a²

x0

. De mˆeme la normale rencontre Ox en J d’abscisse x_J = x₀(1 + b²

a²) d’o`u

OI . OJ = xIxJ = a² x0

x0(1 + b²

a²) = a²+ b² = c² = OF².

La tangente et la normale en M ´etant orthogonales, l’affirmation d) de la proposition 18.2 entraine que ce sont les bissectrices issues de M dans le triangle M F F⁰. On a |x0| > a d’o`u

|x_I| = a²

x₀ < a < c et donc I ∈ [F F⁰]. La tangente est la bissectrice int´erieure.

Construction de la tangente en M `a la r`egle et au compas.

Les d´efinitions bifocales de l’ellipse et de l’hyperbole permettent une construction rapide d’un point quelconque de ces coniques et simultan´ement de la tangente en ce point.

Soit F et F⁰ deux points d’un plan affine euclidien, ϕ un point du cercle de rayon 2a et de centre F dit cercle principal de l’ellipse E ou de l’hyperbole H de foyers F et F⁰ et d’axe focal de longueur 2a. La médiatrice du segment [F⁰ϕ] rencontre la droite F ϕ en un point M sauf dans le cas d’une hyperbole si F⁰ϕ est l’une des tangentes au cercle principal. Ce point M appartient à E ou à H et dans le triangle isocèle M ϕF⁰, la mèdiatrice de [F⁰ϕ] est aussi la bissectrice intérieure de {(M,−−→

M ϕ), (M,−−−→ M F⁰)}.

Dans le cas d’une ellipse, −−→

M ϕ et −−→

M F sont de sens contraires et la m´ediatrice de [F⁰ϕ] est la bissectrice ext´erieure de {(M,−−→

M F ), (M,−−−→

M F⁰)} et donc la tangente en M `a l’ellipse. Dans le cas d’une hyperbole,−−→

M ϕ et−−→

M F sont de même sens et la médiatrice de [F⁰ϕ] est la bissectrice intérieure de {(M,−−→

M F ), (M,−−−→

M F⁰)} et donc encore la tangente en M `a l’hyperbole.

(10)

3.3. L’ellipse, image d’un cercle par une affinité orthogonale. Soit E une ellipse d’équation réduite

x² a² +y²

b² = 1 dans le rep`ere orthonorm´e (O,−→

i ,−→

j ). Dans ce repère, son cercle principal C à pour équation x²

a² +y² a² = 1.

On a

x² a² +y²

a² = 1 ⇔ x² a² + 1

b²(b

ay)²= 1

ce qui montre que le point de coordonnées (x, y) appartient à C si et seulement si le point de coordonnées (x, b

ay) appartient `a E . L’ellipse E est donc l’image de son cercle principal C par l’affinit´e orthogonale h d’axe (0,−→

i ) et de rapport b a.

Soit M ∈ C de coordonn´ees (x0, y0), x0 6= 0. Les coordonn´ees de h(M ) sont (x0,b

ay0) et les tangentes en M et h(M ) `a C et E ont pour ´equations

xx₀ a² +yy₀

a² = 1 et xx₀

a² +y(_a^by₀) b² = 1 Elles rencontrent donc toutes deux l’axe (0,−→

i ) au point I d’abscisse a²

x₀. Comme h(I) = I, l’image par h de la droite M I est donc la droite h(M )I. Autrement dit, l’image de la tangente en un point M de C d’abscisse non nulle est la tangente au point h(M ). On verifie facilement qu’il en est de mˆeme pour les deux points d’abscisses nulles.

Construction `a la r`egle et au compas

Soit E l’ellipse définie par ses sommets A, A⁰, B, B⁰ et D = h⁻¹(B) (h a la même signification que précédemment). Pour construire un point de E , distinct d’un sommet, ainsi que la tangente en ce point on procède de la fa¸con suivante :

(1) On choisit un point H ∈]AA⁰[ et on trace la perpendiculaire en H à AA⁰, notée ∆ . Soit M le point commun à ∆ et au cercle principal de E situé dans le demi-plan limité par AA⁰ et contenant B.

(2) La droite DM rencontre AA⁰ en J et BJ coupe ∆ au point h(M ) car h(DJ ) = h(D)H(J ) = BJ .On a ainsi obtenue l’un des points de E situé sur ∆, l’autre étant son symétrique par rapport à AA⁰.

(3) On trace la perpendiculaire en M à OM . C’est la tangente en M à C. Elle rencontre AA⁰ en I et h(M )I est la tangente en h(M ) à E car h(M I) = h(M )h(I) = h(M )I.

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4. APPENDICE : LA D ´ERIVATION VECTORIELLE 209

4. Appendice : la d´erivation vectorielle

Dans cet appendice on ne donne que les propriétés de la dérivation des fonctions de R dans Rⁿ nécessaires à la compréhension du document.

Soit P un plan affine euclidien et −→

P son plan vectoriel associ´e. Une application V d’une partie D de R dans −→

P est continue (resp. d´erivable) en un point t0 ∈ D si et seulement si ses composantes par rapport `a une base (−→u , −→v ) de−→

P sont continues (resp. d´erivables) en ce point.

Si V (t) = f (t)−→u + g(t)−→v alors V⁰(t) = f (t)⁰−→u + g(t)⁰−→v . Quelques propriétés de la dérivation.

• La dérivée d’une somme est la somme des dérivées et (λV )⁰ = λ(V )⁰ pour tous λ ∈ R.

• Soit V et U deux applications de D dans −→

P dérivables sur D. L’application produit scalaire U.V définie par (U.V )(t) = U (t).V (t) est dérivable et si la base (−→u , −→v ) est orthonormée

(U.V )⁰(t) = U⁰(t).V (t) + U (t).V⁰(t).

(Si U (t) = f₁(t)−→u + g₁(t)−→v et V (t) = f₂(t)−→u + g₂(t)−→v alors (U.V )(t) = f₁(t)f₂(t) + g1(t)g2(t) d’o`u

(U.V )⁰(t) = f₁⁰(t)f2(t) + f1(t)f₂⁰(t) + g₁⁰(t)g2(t) + g1(t)g⁰₂(t) = U⁰(t).V (t) + U (t).V⁰(t)).

• Soit O un point de P , f et g deux applications de D dans R et M(t) le point de P de coordonnées f (t) et g(t) dans le repère (O, −→u , −→v ). Si f et g sont dérivables sur D alors l’application V₀ : D → −→

P d´efinie par V₀(t) = −−−−→

OM (t) est dérivable sur D et V₀⁰(t) = f⁰(t)−→u + g⁰(t)−→v est indépendant du point 0 d’o la notation simplifiée

d(−−−−→

OM (t))

dt =

−−→ dM dt .

• On conserve les notations précédentes et on considère la courbe Γ d’équations paramétriques x = f (t), y = g(t) dans le repère (O, −→u , −→v ). Si l’application t →−−−−→

OM (t) possède une première dérivée non nulle en t0 alors Γ possède une tangente au point M0 de coor- données (f (t₀), g(t₀)) qui est dirigée par cette première dérivée non nulle. (On peut avoir une tangente en M₀ sans première dérivée non nulle en t₀.)

Si

−−→ dM

dt existe en tous points et ne s’annulle jamais on dit que la représentation paramétrique de Γ, x = f (t), y = g(t), est régulière et la courbes Γ a en chaque point une tangente dirigée par

−−→ dM

dt . Toutes les coniques ont une représentation paramétrique régulière.

• Soit V : D ⊂ R →−→

P . Si V est dérivable au point t₀ et si V (t₀) 6= 0 alors le théorème sur la dérivée d’une fonction composée montre que l’application kV k : t → kV (t)k = pV (t).V (t) est dérivable au point t0 et

kV k⁰(t0) = 1 2

2 V (t0).V⁰(t0)

pV (t).V (t) = V (t0)

kV k(t₀).V⁰(t0) ou encore avec une notation déjà utilisée :

dOM dt =

−−→OM OM.

−−→ dM dt .

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