ENS Lyon Alg`ebre 1
L3 2007-2008
TD 8
Sauf indication du contraire, les repr´esentations consid´er´ees sont sur C.
Exercice 1 Soit G un groupe fini, V et W des repr´esentations de G. Montrer que HomG(V,W) = Hom(V,W)G.
Exercice 2 Soit G =Z/pZ. V´erifier que l’application ρ de G dans M2(¯Fp) donn´ee par ρ(a) =
1 a 0 1
d´efinit une repr´esentation de G sur ¯Fp. V´erifier que cette repr´esentation n’est pas somme de repr´esentations irr´eductibles de G.
Exercice 3 Soit G un groupe ab´elien fini. Montrer que toutes ses repr´esentations irr´eductibles sont de dimension 1. Combien y en a-t-il?
Exercice 4 SoitG un groupe fini. Montrer qu’il existe une repr´esentation deGqui est fid`ele (c’est-`a-dire d´efinit un morphisme injectif deGdans GL(V)). Montrer que Gest simple si et seulement si toutes ses repr´esentations irr´eductibles non triviales sont fid`eles.
Exercice 5 Soit χle caract`ere d’une repr´esentation du groupe fini G. Montrer que χ(g) =χ(e) si et seulement si g est dans le noyau de la repr´esentation.
Exercice 6 Quelles sont les repr´esentations irr´eductibles de S3?
Exercice 7 Soit G un groupe fini agissant sur l’ensemble fini X. On d´efinit la repr´esentation de permutation par VX = ⊕x∈XCex, et g.ex = eg.x. On appelle χX
le caract`ere de cette repr´esentation. Montrer que χX(g) = #{x ∈ X,g.x = x}. En d´eduire que #G1 P
g∈GχX(g) est le nombre d’orbites de l’action de Gsur X. Montrer que si G agit 2-transitivement surX, alors #G1 P
g∈GχX(g)2 = 2.
Exercice 8 On consid`ere la repr´esentation de permutation deSn sur Cn. Montrer qu’elle se d´ecompose en la somme de la repr´esentation triviale et d’une repr´esentation irr´eductible de dimensionn−1.
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