DS n°1 Exercice 1 Soit la fonction f(x) =

DS n°1

Exercice 1

Soit la fonction f(x) =

dont la courbe représentative est tracée ci-dessous

1) Déterminer le domaine de définition de la fonction f(x).

2) A partir de la formule du taux d’accroissement (donnée en rappel ci-dessous), calculez le nombre dérivé de f en 3, noté f’(3). Que représente concrètement ce nombre ? 3) En déduire l’équation réduite de la tangente au point d’abscisse 3.

4) Représentez-la sur le graphique ci-dessus de manière approximative (aucun trait de construction n’est exigé)

5) Déterminez la fonction dérivée f’(x). Vous donnerez son domaine de définition.

6) Etudiez le signe de la fonction dérivée f’(x) sur le domaine de définition de f(x)

7) En déduire le sens de variation de f(x). Vous penserez à compléter entièrement le tableau de variation.

8) La fonction f admet-elle des extremums globaux ? locaux ? Si oui, vous donnerez les coordonnées de ces extremums. Placez-les sur le graphique ci-dessus en les entourant.

Rappel : Le taux d’accroissement est donné par la formule :

On considère la fonction g(x) définie par g(x) = On considère la fonction h(x) définie par h(x) = g(x) +8

9) Sans calculs, donnez le sens de variation des fonctions g(x) et h(x). Vous penserez à construire deux tableaux de variation pour chacune des fonctions.

On considère maintenant une fonction i(x) définie sur R par i(x) = 10) Etudiez le signe de la fonction 4x²+3x-2 sur R

11) En déduire, sur chaque intervalle, la fonction i(x) sans valeur absolue.

Exercice 2

Un joueur de tennis s’entraîne quotidiennement avec un lance-balle. Il a une chance sur six de taper la balle. S’il réussit son coup (s’il tape la balle), il a alors une chance sur cinq de réussir son deuxième coup. Dans le cas contraire où il n’arrive pas à taper la balle, il a alors deux chances sur quatre de ne pas réussir son coup la deuxième fois.

1) Construisez un schéma de Bernoulli représentant la situation.

2) Calculez, à l’aide de l’arbre :

a) La probabilité que le joueur réussisse ses deux coups.

b) La probabilité qu’il réussisse le premier mais pas le second.

c) La probabilité qu’il tape au moins une balle.

d) La probabilité qu’il ne tape aucune balle e) La probabilité qu’il réussisse au plus un coup.

Le joueur sait que s’il tape deux balles, il empochera une prime de 1000€. Dans le cas où il n’en tape qu’une seule, il ne recevra que 500€. Dans les autres cas, il ne recevra rien.

3) Etablissez la distribution de probabilité correspondante à la situation énoncée ci- dessus.

4) Calculez alors le gain moyen du joueur. Interprétez votre résultat.

Exercice 3

La société qui fabrique les fameux jeans « Clovis » avait fait faire en 2008 une enquête de satisfaction qui indiquait que 75% des clients étaient satisfaits de leur jean. Le directeur de marketing désire lancer une campagne de publicité en 2010 dont le slogan serait « trois quart de nos clients nous sont fidèles ».

1) Sous l’hypothèse que la proportion de 2008 est toujours valable en 2010, déterminer l’intervalle de fluctuation au seuil de 95% de la fréquence des personnes fidèles à la marque sur un échantillon de taille 100.

2) Le directeur de marketing commande une enquête à un institut de sondage auprès de

100 personnes. L’institut répond « 64% des personnes sondées sont fidèles à la

marque Clovis ». Quelle décision peut prendre le directeur de marketing ?