Bac blanc 2021 : Spécialité Mathématiques corrigé.

Bac blanc 2021 : Spécialité Mathématiques corrigé.

EXERCICE1 5 points

PARTIE A

Par lecture graphique, déterminer en justifiant :

1. f^′(−3)=0 : la tangente étant horizontal, le coefficient directeur est nul. ;

2. f(0)=2 les coordonnées deBsont (0,2) estB∈(C) etf^′(0)= −3, le coefficient directeur de la tangente enBest−3.

PARTIE B

On admet que la fonctionf est définie sur [−4 ; 3] par

f(x)= −2+(x+4)e^−x. 1. Déterminer les limites def en+∞et−∞.

x→−∞lim (x+4)= −∞

x→−∞lim e^−x= +∞

)

⇒ lim

x→−∞−2+(x+4)e^−x= −∞

x→+∞lim (x+4)= −∞

x→+∞lim e^−x=0 )

|{z}⇒

FI mais croissance comparée

x→+∞lim (x+4)e^−x=0⇒ lim

x→+∞−2+(x+4)e^−x= −2 2. Justifier que, pour tout réelxde [−4 ; 3],f^′(x)=(−x−3)e^−xet en déduire le tableau de variation def sur [−4 ; 3] :

f^′(x)=0+1×e^−x+(x+4)×(−e^−x)=(1−x−4)e^−x=(−x−3)e^−x

Comme e^−x>0, alorsf^′(x) est du signe de−x−3. On a :−x−3>0⇔ −3>xD’où le tableau de variation : x

f^′(x)

f(x)

−∞ −3 +∞

+ 0 −

−∞

−∞

−2+e³

−2+e³

−2

−2 En effet :

f(−4)= −2+(−4+4)e⁴= −2 ; f(−3)= −2+(−3+4)e³= −2+e³≃18 ; f(3)= −2+7e⁻³

3. Montrer que l’équation f(x)=0 admet une unique solutionαsur [−3 ; 3], puis donner une valeur approchée deαà 0,01 près par défaut.

D’après le tableau de variation l’équation f(x)=0 admet une unique solution sur [−3,3]. On a :

x 0,89 0,9

f(x) 0,0081 -0,007 Donc on a 0,89≤α≤0,9

4. Déterminer l’équation de la tangente (T) à (C) au point C d’abscisse -2.

f(−2)= −2+(−2+4)e²= −2+2e² et f^′(−2)=(2−3)e²= −e² Donc l’équation de (T) est :

y= −e²(x+2)−2+2e²= −e²x−2 5. Étude algébrique de la convexité.

a. Montrer que :

f^′′(x)= −1×e^−x+(−x−3)×(−e^−x)=(x+2)e^−x

b. Étudier le signe def^′′et en déduire la convexité def surR, ainsi que la position relative de (T) et de (C).

Puisque e^−x>0 alorsf^′′(x) est du signe dex+2.

x f^′′(x) Convexi té

Posi t i on

−4 −2 3

− 0 +

concave 0 convexe T_/C ₀ C_/T 6. Utilisation de la convexité de la fonction.

a. Déterminer l’équation de la tangente àC _{en 0.}

T0:y=f^′(0)(x−0)+f(0)= −3x+2

b. Comme la fonctionf est concave sur [−2,+∞[, la tangente en 0 est au dessous deC _{donc :}

∀x∈[−2,+∞[,−3x+26_−2+(x+4)e^−x c. Soitx∈[−2,+∞[

−3x+26₋2+(x+4)e^−x⇔ −3x+46(x+4)e^−x ⇔

x+4>0 sur [−2,+∞[|{z}

−3x+4 x+4 6e^−x

Exercice 2 5 points

On considère la fonctionf définie surRpar :

f(x)=1

2x²−x+3 2. Soitaun réel positif.

On définit la suite (un) paru0=aet, pour tout entier natureln:un+1=f(un).

Le but de cet exercice est d’étudier le comportement de la suite (un) lorsquen tend vers+∞, suivant différentes valeurs de son premier termeu0=a.

1. À l’aide de la calculatrice, conjecturer le comportement de la suite (un) lorsquentend vers+∞, poura=2,9 puis poura=3,1.

Aveca=2,9 il semble que la suite (un) soit décroissante et convergente vers 1.

Aveca=3,1 il semble que la suite (un) soit croissante et tende vers+∞.

2. Dans cette question, on suppose que la suite (un) converge vers un réelℓ. a. En remarquant queun+1=1

2u²_n−un+3

2, montrer queℓ=1

2ℓ²−ℓ+3 2.

Siun →ℓalorsun+1→ℓet par ailleurs comme f est continue f(un)→f(ℓ). Commeun+1= f(un) alors f(ℓ)=ℓdonc ℓ=1

2ℓ−ℓ+3 2.

b. Montrer que les valeurs possibles deℓsont 1 et 3.ℓ=1

2ℓ−ℓ+3

2 ⇐⇒2ℓ=ℓ²−2ℓ+3 ⇐⇒ℓ²−4ℓ+3=0 ⇐⇒(ℓ−1)(ℓ−3)= 0 ⇐⇒ℓ=1 ouℓ=3

1 et 3 sont les solutions de cette équation que l’on peut écrire.

Si elle converge cela ne peut être que vers 1 ou 3.

3. Dans cette question, on prenda=2,9.

a. Montrer quef est croissante sur l’intervalle [1 ;+∞[.

On prenda=2,9.f est dérivable surRet sur cet intervalle :

f^′(x)=x−1; doncf^′(x)>0 pourx>1 : la fonctionf est croissante sur [1 ;+∞[.

b. Montrer par récurrence que, pour tout entier natureln, on a : 16un+16un. Initialisation:u0=2,9 etu1:1

2×2,9²−2,9+3

2=2,805.

On a bien 16u16u0.

Hérédité: supposons que pourn∈N, on ait : 16un+16un :

puisque la fonctionf est croissante sur [1 ;+∞[, les images parf des trois termes de cet encadrement sont rangées dans le même ordre :

f(1)6_f(un+1)6_f(un).

Soit avecf(1)=1 2−1+3

2=1 : 16un+26un+1: l’encadrement est vrai au rangn+1.

On a montré que l’encadrement est vrai au rang 0 et que s’il est vrai au rangn, il l’est aussi au rangn+1.

D’après le principe de récurrence on a donc démontré que : pour tout entier natureln, on a : 16un+16un.

c. Montrer que (un) converge et déterminer sa limite.

D’après le résultat précédent la suite (un) décroit et est minorée par 1 : elle est donc, d’après le théorème de la convergence monotone, convergente vers un nombreℓ>1.

De plusa=2,9 est le premier terme de la suite qui est décroissante, doncℓ<2,9.

Les deux seules valeurs possibles pour la limite sont 1 et 3 (question 2.b.) ; ça ne peut pas être 3 doncℓ=1.

4. Dans cette question, on prenda=3,1 et on admet que la suite (un) est croissante.

a. À l’aide des questions précédentes montrer que la suite (un) n’est pas majorée.

Si la suite est majorée, comme elle est croissante, elle est convergente (théorème de la convergence monotone).

On a vu que si la suite converge ce ne peut être que vers 1 ou 3, ce qui n’est pas possible puisque le premier terme est u0=3,1>3 et que la suite est croissante : cette suite n’est donc pas majorée.

b. En déduire le comportement de la suite (un) lorsquentend vers+∞. Par conséquent on a lim

n→+∞un= +∞.

c. L’algorithme suivant calcule le plus petit rangppour lequelup>10⁶. Pest un nombre entier etUest un nombre réel.

P←0 U←3,1

Tant queU6₁₀⁶ P←P+1 U←1

2U²−U+3 Fin Tant que 2

Rem.L’algorithme s’arrête àu9.

EXERCICE3 4 points

On considère un cube ABCDEFGH.

Le point M est le milieu de [BF], I est le milieu de [BC], le point N est défini par la relation

−−→CN=1 2

−−→GC et le point P est le centre de la face ADHE.

+

+

+

+

A

B C

D E

F G

H

I M

P

N Partie A :

1. Justifier que la droite (MN) coupe le segment [BC] en son milieu I.

On a−−→

B M=1 2

−→BF=1 2

−−→CG=−−→

NCdonc le quadrilatère BMCN est un parallélogramme donc droite (MN) coupe le segment [BC] en son milieu I (les diagonales d’un parallélogramme se coupent en leur milieu.

2. Construire, sur la figure la section du cube par le plan (MNP).

Partie B :

On munit l’espace du repère orthonormé³

A ;−−→AB,−−→AD,−→AE´ .

1. Justifier que le vecteur−→ n



 1 2 2



est un vecteur normal au plan (MNP).

Les coordonnées des vecteurs−−→

M N



 0 1

−1



et−−→

MP





−1 1/2

0



. Or

−

→n·−−→

M N=1×0+2×1−2×1=0 et →−n·−−→

MP= −1+1+0=0 Donc le vecteur−→

n orthogonal à deux vecteurs manifestement non colinéaires du plan MNP est un vecteur normal à ce plan.

En déduire une équation cartésienne du plan (MNP).

On sait qu’alors :

M(x;y;z)∈(MNP)⇐⇒1x+2y+2z+d=0.

En particulier on a : P∈(MNP)⇐⇒ 1×0+2×1

2+2×1

2+d=0 ⇐⇒1+1+d=0 ⇐⇒d= −2.

Conclusion :M(x;y;z)∈(MNP)⇐⇒ x+2y+2z−2=0.

2. Montrer que le point K de coordonnées µ2

3; 1 3; 1

3

¶

est le projeté orthogonal de G sur le plan (MNP) En déduire la distance de G à (MNP).

On a−−→

K G=





13 23 23



donc→−n =3−−→

K Gdonc−−→

K Gest normal à (MNP). Par ailleurs2 3+2×1

3− +2×1

3−2=0 doncK∈(M N P). DoncK est bien le projeté orthogonal deGsur (MNP).

K G= r1

9+4 9+4

9=1 qui est la distance deGà (MNP).

3. Distance de P à (MI).

a. Déterminer l’équation cartésienne du planPpassant par P et orthogonal à la droite (MI).

On a−−→

M I:



 01 2

−¹₂



doncP_{:y−z+d=0 avecP:}^¡_0;¹

2;¹₂¢

doncd=0 doncP_:y−z=0

Une représentation paramétrique de (M I) :





 x=1 y=¹₂t+¹₂

z= −¹₂t

t∈RPour trouver l’intersection : ¹₂t+¹₂+¹₂t=0⇔t=⁻¹₂ Donc H

µ 1;1

4;1 4

¶

b. Déterminer les coordonnées du point H intersection de la droite (MI) avec le planP_. c. En déduire la distance de P à la droite (MI). (Penser à justifier)

Par construction H est le projeté orthogonal dePsur (MI), donc la distance de P à (MI) est :

−−→P H:



 1

−1/4

−1/4



⇒P H=p

1²+1/4²+1/4²=3p 2 4

4. Étude du quadrilatère (E D I M).

a. Justifier que les droites (E D) et (M I) sont parallèles et en déduire que les quatre points M, E, D et I sont coplanaires.

Par le théorème des milieux, on a−→

F C=2−−→

M I or−→

F C=−−→

E D. Donc−−→

E D=2−−→

M I. Les droites (E D) et (M I) sont donc parallèles et donc coplanaires. Donc M, E, D et I sont coplanaires.

b. En déduire que l’aire du quadrilatère (MEDI) est9

8unités d’aire.Ai r e=

p2 2 +p

2 2 ×3p

2 4 =9

8 c. Calculer le volume de la pyramide GMEDI.V(GMEDI):1

3A(AEDI)×GK=1 3×9

8×1=3

8unité de volume.

EXERCICE4 5 points Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Une réponse exacte rapporte un point. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l’absence de réponse à une question ne rapporte ni n’enlève de point. Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée.

PARTIE I

Dans un centre de traitement du courrier, une machine est équipée d’un lecteur optique automatique de reconnaissance de l’adresse postale. Ce système de lecture permet de reconnaître convenablement 98 % des adresses ; le reste du courrier, que l’on qualifiera d’illi- sible pour la machine, est orienté vers un employé du centre chargé de lire les adresses.

Cette machine vient d’effectuer la lecture de neuf adresses. On note X la variable aléatoire qui donne le nombre d’adresses illisibles parmi ces neuf adresses.

Déterminer la loi suivit par X.

1. La probabilité qu’aucune des neuf adresses soit illisible est égale, au centième près, à :

a. 0 b. 0,16 c. 0,83 d. 1

P(X=0)=0,98⁹≃0,83 à 10⁻²près

2. La probabilité que exactement deux des neuf adresses soient illisibles pour la machine est : a.

µ7 2

¶

×0,98²×0,02⁷ b.

µ9 2

¶

×0,98²×0,02⁷ c.

µ7 2

¶

×0,98⁷×0,02² d.

µ9 2

¶

×0,98⁷×0,02²

P(X=k)= µn

k

¶

×(1−p)^n−k×p^k donc P(X=2)= µ9

2

¶

×0,98⁷×0,02² 3. La probabilité qu’au moins une des neuf adresses soit illisible pour la machine est :

a. 1−P(X=0) b. P(X>2) c. P(X61) d. P(X<1)

La probabilité cherchée est :P(X>_{1)=1−P(X=0)}

PARTIE II

Une urne contient 5 boules vertes et 2 boules blanches, indiscernables au toucher. On tire au hasard successivement et sans remise deux boules de l’urne. On considère les évènements suivants :

— V1: la première boule tirée est verte ;

— B1: la première boule tirée est blanche ;

— V2: la seconde boule tirée est verte ;

— B2: la seconde boule tirée est blanche 4. La probabilité de l’événementV2est égale à :

a. 5

8 b. 5

7 c. 3

28 d. 9

7

P(V2)=P(V1∩V2)+P(B1∩V2)=P(V1)×PV1(V2)+P(B1)×PB1(V2)==5 7×4

6+2 7×5

6=30 42=5

7 5. La probabilité deV2sachant queV1est réalisé, notéePV2(V1), est égale à :

a. 2

3 b. 4

7 c. 2

7 d. 5

6

PV2(V1)=P(V1∩V2)

P(V₂) =P(V1)×PV1(V2) P(V₂) =

5 7×4

56 7

=2 3