ECS2 Lycée Louis Pergaud

ECS2 Lycée Louis Pergaud

Exercices de colle de la semaine 13

ECS2

Exercice 1

Soit X

, X

, . . . , X

n variables mutuellement indépendantes et suivant chacune la loi exponen- tielle de paramètre λ. On pose M = max(X

, X

, . . . , X

).

1. Montrer que M est une variable à densité et déterminer une densité de M . 2. Montrer que E(M ) =

n−1

X

k=0

n k + 1

! (−1)

λ(k + 1) . 3. Montrer que pour tout k ∈ {0, . . . , n−1}, 1

k + 1 =

Z

t

dt et en déduire que E(M ) = 1 λ

n

X

k=1

1 k . Exercice 2

Soit f la fonction définie sur R

par f : (x, y) 7→ −3y x

+ y

+ 1 .

1. Montrer que f est de classe C

sur R

et calculer ses dérivées partielles.

2. Déterminer les points critiques de f.

3. Déterminer les extrema de f .

Exercice 3

Soit g : R

→ R la fonction définie par g(x, y) = e

(x + y

+ e

). On considère également la fonction f, définie sur R par f (t) = 1 + t + 2e

.

1. Montrer que g est C

sur R

, et calculer ses dérivées partielles.

2. Montrer qu’il existe un unique réel α tel que f(α) = 0. Justifier que α ∈ [−2, −1].

3. En déduire que g possède un unique point critique, que l’on exprimera en fonction de α.

4. En remarquant que pour tout y ∈ R , g(x, y) ≥ g(x, 0), montrer que g possède un minimum global.

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