Partie C – Trace maximale d’une matrice orthogonale n´ egative

DM de MPSI2

Devoir non surveill´ e

Dans ce probl`eme, sauf mention contraire,nd´esigne un entier sup´erieur ou ´egal `a 2, etKd´esigneRouC. D´efinitions et rappels (qu’il est inutile de montrer).

– Rⁿ est muni de son produit scalaire canonique.

– Les produits scalaires seront not´es<·,·> et la norme associ´ee sera not´ee k·k. Il incombe au lecteur de comprendre, selon le contexte, de quel produit scalaire ou norme on parle.

– On pourra identifierMn,1(R) `a Rⁿ.

– SoitA= (ai,j)∈ Mn(R). On appelletrace deAet on note tr(A) le scalairePn

i=1ai,i. On rappelle que la trace (vue comme application deMn(R) dansR) est une forme lin´eaire surMn(R), clairement invariante par transposition (i.e.tr(^tA) = tr(A) pour toute matrice carr´ee) et que pour toutes matricesB etC de tailles respectives n×metm×n, tr(BC) = tr(CB).

– On noteOn(R) le groupe des matrices orthogonales de taillen,O⁺_n(R) le sous-groupe deOn(R) form´e des matrices deOn(R) de d´eterminant positif, et O⁻_n(R) son compl´ementaire dansOn(R).

– On appellevaleur propre d’un endomorphismewd’unK-espace vectorielEtout scalaireλtel quew−λIdE

ne soit pas injectif,i.e.tel qu’il existe un vecteur non nulxdeE pour lequel w(x) =λx. Un tel vecteur est appel´evecteur propre dewpour la valeur propreλ.

– On d´efinit de mˆeme la notion de valeur propre d’une matrice carr´ee A ∈ M_n(K) : c’est un scalaire λ tel queA−λI_n ne soit pas inversible,i.e.tel qu’il existe une matrice colonne non nulleX pour laquelle AX =λX. On observe que λ est valeur propre de A si et seulement si det(A−λI_n) = 0. De plus, les valeurs propres d’une matrice sont celles de tout endomorphisme qu’elle est susceptible de repr´esenter dans une base. En particulier, deux matrices semblables ont mˆemes valeurs propres.

La notion principalement ´etudi´ee dans ce probl`eme

On se donne des vecteursX1, . . . , Xm, Y1, . . . , YmdeMn,1(R). On noteXetY les matrices de taillesn×m, de colonnes respectivesX1, . . . , Xm etY1, . . . , Ym.

Soit Ω une partie non vide deMn(R).

On dira qu’une matriceW ∈Ω est (X, Y)-minimale dansΩ si elle minimise dans Ω la quantit´e

m

X

i=1

kW Xi−Yik², i.e.si

m

X

i=1

kW Xi−Yik²= min (_m

X

i=1

kW⁰Xi−Yik², W⁰ ∈Ω )

,

ou encore

∀W⁰∈Ω,

m

X

i=1

kW Xi−Yik²6

m

X

i=1

kW⁰Xi−Yik². Le but de ce probl`eme est la recherche des matrices (X, Y)-minimales dansO⁺_n(R).

Partie A – G´ en´ eralit´ es

A.1

a Montrer que pour tout W ∈ O_n⁺(R) (resp. W ∈ O⁻_n(R)), det(W) = 1 (resp. det(W) = −1). O⁻_n(R) est-il un sous-groupe deOn(R) ?

bMontrer que pour toutW = (wi,j)∈ On(R), et tout (i, j)∈[[1, n]]²:|wi,j|61.

A.2

a Montrer que l’application

<·,·>: Mn,m(R)² → R

(M, N) 7→ tr((^tM)N)

est un produit scalaire surMn,m(R), pour lequel la base canonique (Ei,j)16i6n,16j6mdeMn,m(R) est ortho- norm´ee. On notek·kla norme associ´ee.

bSoitW ∈ On(R). CalculerkWk.

A.3SoitM ∈ M_n(C). Montrer queM admet au moins une valeur propre complexe.

Partie B – Traduction du probl` eme ` a l’aide du produit scalaire canonique sur M

( R ).

B.1

a SoitW ∈ M_n(R). Montrer que

m

X

i=1

kW X_i−Y_ik²=kW X−Yk².

bSoitW ∈ On(R), (M, N)∈ Mn,m(R)². Simplifier < W M, W N >et kW Mk.

cFaire de mˆeme pour< M W, N W >etkM Wk, o`uW ∈ Om(R), (M, N)∈ Mn,m(R)². B.2Soit Ω une partie deO_n(R).

a Montrer queW ∈Ω est (X, Y)-minimale dans Ω si et seulement si W maximise< W X, Y >dans Ω, i.e.

∀W⁰∈Ω, < W⁰X, Y >6< W X, Y > .

bD´eterminer, en fonction deX et deY, une matriceA∈ Mn(R) telle que, pour toutW ∈ On(R) :

< W X, Y >=< W, A > .

Ainsi,W est (X, Y)-minimale dans Ω si et seulement siW maximise < W, A > dansΩ.

Partie C – Trace maximale d’une matrice orthogonale n´ egative

C.1Donner la trace maximale d’une matrice deOn(R), en pr´ecisant la ou les matrices pour lesquelles elle est atteinte.

C.2 Soit E un espace euclidien, et w un automorphisme orthogonal de E. Justifier que les seules valeurs propres (r´eelles) possibles dewsont 1 et−1.

C.3 Montrer que siF est un sous-espace vectoriel d’un espace euclidien E, stable par un automorphisme orthogonalw deE (i.e.w(F)⊂F), alorsF^⊥ est ´egalement stable parw.

C.4SoitW ∈ O_n⁻(R), et wl’endomorphisme deRⁿ canoniquement associ´e. On se propose de montrer, par r´ecurrence forte surn∈N^∗, que−1 est valeur propre deW. Le cas o`un= 1 est ´evident.

a Traiter le casn= 2.

On prouve maintenant l’h´er´edit´e, en supposant avoir prouv´e le r´esultat pour toute taille m < n, o`u l’on a fix´e un entiern>3.

On sait queW admet une valeur propre complexeλ. Siλ=−1, il n’y a rien `a faire.

bTraiter le cas o`u λ= 1.

cOn supposeλcomplexe non r´eel. SoitZ∈ Mn,1(C) non nul tel queW Z =λZ. NotonsZr= Re(Z) et Z_i= Im(Z) (que l’on pourra voir comme des vecteurs deRⁿ). Montrer que Vect_R(Z_r, Z_i) est stable parw.

dConclure.

C.5

a Montrer que pour toutW ∈ O⁻_n(R), il existeP ∈ On(R) et W⁰∈ O_n−1⁺ (R) tels que

W =P

−1 0_1,n−1 0n−1,1 W⁰

P⁻¹.

bEn d´eduire la trace maximale d’une matrice deO_n⁻(R).

Partie D – R´ eponse au probl` eme

D.1Ici, ∆ = Diag(λ1, . . . , λn) d´esigne une matrice diagonale de taillen`a coefficients positifs ou nuls.

a D´eterminer une matrice W⁰∈ On(R) maximisant< W⁰,∆>dansOn(R).

bOn suppose de plus λ1 >· · ·>λr>0 et λr+1 =· · ·=λn= 0 pour touti∈[[r+ 1, n]] (on comprend ici le casr=n, o`u les coefficients diagonaux de ∆ sont tous non nuls).

D´eterminer toutes les matricesW⁰ ∈ On(R) maximisant < W⁰,∆>dansOn(R).

D.2 On admetqueApeut s’´ecrireQ∆(^tP), o`u (Q, P)∈ On(R)<sup>2</sup>et ∆ est diagonale `a coefficients diagonaux λ1, . . . , λn v´erifiantλ1>· · ·>λn>0.

a D´eterminer `a l’aide deP et deQune matrice (X, Y)-minimale dansOn(R), et appartenant `a O⁺_n(R) si et seulement si det(P) det(Q)>0.

bMontrer que si det(A)>0, alors il existe une unique matrice (X, Y)-minimale dansO⁺_n(R).

cMontrer que si det(A) = 0, alors il existe une matrice orthogonale positive (X, Y)-minimale dansO⁺_n(R) (on pourra discuter selon le signe de det(P) det(Q)).

D.3On traite ici le dernier cas, o`u det(A)<0 (et donc det(P) det(Q)<0).

a Montrer que la matrice diagonaleW⁰ ∈ O_n⁻(R), de taillen dont tous les coefficients diagonaux valent 1, sauf le dernier, qui vaut−1, maximise< W⁰,∆>dansO⁻_n(R).

Indication : on pourra, ´etant donn´e W⁰ = (w⁰_i,j) ∈ O_n⁻(R), ´ecrire < W⁰,∆ > `a l’aide de tr(W<sup>0</sup>) et des coefficientsw<sup>0</sup><sub>i,i</sub>, o`u i∈[[1, n−1]].

bEn d´eduire, dans ce dernier cas, une matriceW ∈ O⁺_n(R), (X, Y)-minimale dansO_n⁺(R).