On désigne par M la matrice réelle carrée d'ordre n et de coecient m

(1)

Énoncé

Dans tout le problème

¹

, on désigne par n un entier égal à 2 ou 3 et par A une matrice (n, n) symétrique dont les coecients a

ij

sont des entiers naturels non nuls. Les coecients de la diagonale principale de A sont des 1.

On désigne par M la matrice réelle carrée d'ordre n et de coecient m

ij

déni par : m

ij

= − cos π

a

ij

Dans le cas n = 2 , on notera

a = a

₁₂

= a

₂₁

, m = m

₁₂

= m

₂₁

= − cos

^π_a

On désigne par E un espace vectoriel euclidien orienté de dimension n dont le produit scalaire est noté (./.) . On se propose d'étudier les bases B = (e

1

, · · · , e

n

) telles que :

∀(i, j) ∈ J 1, n K

2

, (e

_i

/e

_j

) = m

_ij

On dira alors que B vérie la propriété M .

Partie I. Existence d'une famille vériant M . 1. Calculer le déterminant de M pour n égal à 2 ou 3.

2. Montrer que s'il existe une base B vériant M alors a

ij

≥ 2 pour tous les couples (i, j) tels que i 6= j .

Dans toute la suite du problème, on suppose a

ij

≥ 2 pour tous les couples (i, j) tels que i 6= j .

3. Cas n = 2 . Construire une base directe vériant M .

4. Cas n = 3 . On veut construire une base directe B = (e

1

, e

2

, e

3

) vériant M . Soit (a

1

, a

2

, a

3

) une base orthonormée directe de E , on pose e

1

= a

1

.

a. Préciser un vecteur e

2

∈ Vect(a

1

, a

2

) tel que

(e

₁

, e

₂

, a

₃

) directe et (e

₁

/e

₂

) = m

₁₂

b. L'ensemble des vecteurs x de E tels que

( (x/e

1

) = m

13

(x/e

₂

) = m

₂₃

1d'après Centrale Supélec 2 PC 2005

forme une droite ane D .

Quelle est sa direction ? Calculer les coordonnées dans (a

1

, a

2

) du point d'intersection D avec le plan Vect(a

₁

, a

₂

) . En déduire la distance du vecteur nul à la droite D .

c. Traduire par une propriété géométrique faisant intervenir D l'existence d'un vecteur e

3

tel que (e

1

, e

2

, e

3

) vérie M .

d. Montrer que si det M > 0 il existe une base B vériant M . 5. Cas particulier n = 3 et

A =





1 3 2 3 1 4 2 4 1





Préciser M et montrer qu'il existe une base B vériant M . Partie II. Famille de réexions.

Dans cette partie, B = (e

₁

, · · · , e

_n

) est une base directe vériant M . On désigne par σ

_i

la réexion telle que

σ

_i

(e

_i

) = −e

_i

1. On considère deux vecteurs x et y de E admettant pour coordonnées dans B respectivement (x

1

, · · · , x

n

) et (y

1

, · · · , y

n

) . Comment peut-on traduire matriciellement qu'ils sont orthogonaux ?

2. Cas n = 2 .

a. Former les matrices S

1

, S

2

, T dans B de σ

1

, σ

2

et τ = σ

1

◦ σ

2

. Pour trouver S1 , on pourra par exemple considérer le vecteur me

1

− e

2

qui est orthogonal à e

1

. b. Soit C = (a

₁

, a

₂

) une base orthonormée directe avec a

₁

= e

₁

. Former les matrices

dans C de σ

₁

, σ

₂

et τ . En déduire la nature et les éléments géométriques de τ . 3. Cas n = 3 . Former les matrices S

1

, S

2

, S

3

dans B de σ

1

, σ

2

, σ

3

. On pourra par exemple

considérer les vecteurs m

12

e

1

− e

2

et m

13

e

1

− e

3

qui sont orthogonaux à e

1

. 4. Cas particulier n = 3 et

A =





1 3 2 3 1 4 2 4 1



 a. Former la matrice T de τ = σ

₁

◦ σ

₂

◦ σ

₃

dans B .

b. Déterminer un vecteur unitaire u tel que τ(u) = −u puis une base orthonormée

directe D = (u, v, w) . On choisira un vecteur v combinaison linéaire de e

1

et e

3

.

c. Former la matrice de τ dans D . En déduire sa nature et ses éléments géométriques.

(2)

Corrigé

Partie I. Existence d'une famille vériant M . 1. Calcul du déterminant de M pour n = 2 .

M =

1 m m 1

avec m = − cos π a On en déduit

det M = 1 − m

²

= sin

²

π 2

Pour n = 3 , le calcul se fait en développant selon la première ligne. On conserve l'expression en m

i,j

. Après calculs cela donne

det M =

1 m

12

m

13

m

21

1 m

23

m

31

m

32

1 = 1 − m

²₂₃

− m

²₁₂

− m

²₁₃

+ 2m

12

m

13

m

23

2. Si B = (e

₁

, · · · , e

_n

) vérie M alors chaque e

_i

est unitaire car (e

_i

/e

_i

) est un terme diagonal (égal à 1 ). De plus pour i et j distincts, d'après l'inégalité de Cauchy-Schwarz :

|m

ij

| = |(e

i

/e)| ≤ |e

i

||e

j

| = 1

L'égalité dans Cauchy-Schwarz se produit seulement si les vecteurs sont colinéaires. Ici les vecteurs de la base sont non colinéaires deux à deux donc |m

ij

| < 1 . Comme

m

ij

= − cos π a

ij

avec a

ij

entier, cela entraine a

ij

≥ 2 .

3. Construction d'une base directe vériant M dans le cas n = 2 . On se xe une base orthonormée directe (a

1

, a

2

) et on pose :

e

₁

= a

₁

e

₂

= ma

₁

+ p

1 − m

²

a

₂

alors (e

1

, e

2

) répond bien à la question car :

(e

₁

/e

₂

) = m det

(a₁,a₂)

(e

1

, e2) =

1 m

0 √ 1 − m

²

= p

1 − m

²

> 0

4. a. Comme dans la question précédente, on peut poser e

₂

= m

₁₂

+

q

1 − m

²₁₂

a

₂

ainsi (e

1

/e

2

) = m

12

et

det

(a₁,a−2,a3)

(e

1

, e

2

, a

3

) =

1 m

12

0 0 p

1 − m

²₁₂

0 0 0 1

= q

1 − m

²₁₂

> 0

b. La droite D est l'intersection de deux plans anes respectivement orthogonaux à e

1

et e

2

. Ces deux vecteurs sont dans Vect(a

1

, a

2

) qui est le plan orthogonal à a

3

. La direction de D est donc Vect(a

3

) .

Soit x = x

1

a

1

+ x

2

a

2

∈ Vect(a

1

, a

2

) ∩ D . Alors : (x/e

1

) = m

13

= x

1

(x/e

2

) = m

23

= m

12

x

1

+ q

1 − m

²₁₂

x

2

On en déduit :

x

1

= m

13

x

2

= m

23

− m

12

m

13

p 1 − m

²₁₂

Comme D est orthogonale à Vect(a

₁

, a

₂

) , la distance de 0

_E

à D est la norme du vecteur d'intersection x que l'on vient de calculer. On en déduit :

d(0

E

, D) = s

m

²₁₃

+ (m

23

− m

12

m

13

)

²

1 − m

²₁₂

= 1

1 − m

²₁₂

m

²₁₃

+ m

²₂₃

− 2m

12

m

13

m

23

c. Les conditions que doivent satisfaire un vecteur e

₃

pour que la famille (e

₁

, e

₂

, e

₃

)

vérie M sont :

ke

3

k = 1 . C'est à dire que e

3

est sur la sphère de rayon 1 et centrée à l'origine.

(e

₃

/e

₁

) = m

₁₃

et (e

₃

/e

₂

) = m

₂₃

. C'est à dire que e

₃

est sur la droite D . La condition géométrique assurant l'existence d'un tel vecteur e

3

est donc que la droite D coupe la sphère unité.

d. D'après la question 1., la condition det M > 0 entraine det M > 0 ⇒ 1 − m

²₁₂

> m

²₂₃

+ m

²₁₃

− 2m

12

m

13

m

13

⇒ m

²₂₃

+ m

²₁₃

− 2m

₁₂

m

₁₃

m

₁₃

1 − m

²₁₂

< 1 ⇒ d(0

_E

, D) < 1

(3)

Ce qui signie que D coupe la sphère en deux vecteurs c et c

⁰

symétriques par rapport au plan Vect(e

1

, e

2

) . Les deux familles (e

1

, e

2

, c) et (e

1

, e

2

, c

⁰

) vérient M . Une seule est directe car la réexion par rapport au plan change l'orientation.

5. Cas particulier. Le calcul des cos conduit à :

A =





1 3 2 3 1 4 2 4 1



 M =







1 − 1

2 0

− 1

2 1 − 1

√ 2 0 − 1

√ 2 1







Le calcul du déterminant conduit à

det M = 1 4 > 0

Il existe donc, d'après la question d. une base vériant M . Partie II. Famille de réexions.

1. La base B n'est pas orthonormée, la matrice du produit scalaire dans cette base est M . On en déduit que deux vecteurs de coordonnées (x

1

, · · · , x

n

) et (y

1

, · · · , y

n

) sont orthogonaux si et seulement si :

x

₁

· x

_n

M





 y

₁

...

y

n





 = 0

2. a. Calcul de la matrice S

1

de σ

1

. Par dénition σ

1

(e

1

) = −e

1

. Le vecteur me

1

− e

2

est orthogonal à e

1

donc conservé par σ

1

:

σ

1

(me

1

− e

2

) = me

1

− e

2

⇒ −me

1

− σ

1

(e

2

) = me

1

− e

2

⇒ σ

₁

(e

₂

) = −2me

₁

+ e

₂

On en déduit :

S

1

=

−1 −2m

0 1

Calcul de la matrice S

2

de σ

2

. Le raisonnement est le même en considérant le vecteur e

1

− me

2

orthogonal à e

2

donc conservé par σ

2

. Après calculs :

S

2

=

1 0

−2m −1

On peut calculer le produit matriciel : T = S

1

S

2

=

−1 −2m

0 1

1 0

−2m −1

=

−1 + 4m

²

2m

−2m −1

b. Les vecteurs de C et B s'expriment les uns en fonction des autres : ( e

1

= a

1

e

2

= ma

1

+ p

1 − m

²

a

2

⇔





 a

₁

= e

₁

a

2

= − m

√

1 − m

²

e

1

+ 1

√

1 − m

²

e

2

On en déduit les matrices de passage

P = P

_CB

=

1 m 0 √

1 − m

²

P

⁻¹

= P

_BC

=







1 − m

√ 1 − m

²

0 1

√ 1 − m

²







Pour la matrice de σ

1

, il est inutile d'utiliser la formule de changement de base car a

2

est conservé par σ

1

(il est orthogonal à a

1

= e

1

).

Mat

_C

σ

₁

=

−1 0 0 1

Pour la matrice de σ

2

, on utilise la formule de changement de base et m = − cos

^π_a

Mat

_C

σ

₂

= P S

₂

P

⁻¹

=

1 − 2m

²

−2m √ 1 − m

²

2m √

1 − m

²

2m

²

− 1

=







− cos 2π

a sin 2π a sin 2π

a cos 2π a







On en déduit la matrice de τ = σ

1

◦ σ

2

Mat

_C

τ =

−1 0 0 1







− cos 2π

a sin 2π a sin 2π

a cos 2π a







=





 cos 2π

a − sin 2π a sin 2π

a cos 2π a







Cela signie que τ est la rotation d'angle

^2π₃

.

3. Cas n = 3 . Par dénition, σ

1

est la symétrie orthogonale par rapport au plan

(Vect(e

₁

))

^⊥

. Donc e

₁

est transformé en son opposé alors que les vecteurs m

₁₃

e

₁

− e

₃

(4)

et m

12

e

1

− e

2

sont xés par σ

1

car ils sont orthogonaux à e

1

. On peut exploiter cela pour obtenir les images de e

3

et e

2

:

σ

1

(m

13

e

1

− e

3

) = m

13

e

1

− e

3

⇒ −m

13

e

1

− σ

1

(e

3

) = m

13

e

1

− e

3

⇒ σ

1

(e

3

) = −2m

13

e

1

+ e

3

σ

₁

(m

₁₂

e

₁

− e

₂

) = m

₁₂

e

₁

− e

₂

⇒ −m

₁₂

e

₁

− σ

₁

(e

₂

) = m

₁₂

e

₁

− e

₂

⇒ σ

1

(e

2

) = −2m

12

e

1

+ e

2

On en déduit la matrice de σ

1

:

S

1

=





−1 −2m

12

−2m

13

0 1 0

0 0 1





De même, e

₂

est transformée par σ

₂

en son opposé alors que m

₂₁

e

₂

− e

₁

et m

₂₃

e

₂

− e

₃

sont xés. On obtient comme au dessus :

σ

₂

(e

₁

) = e

₁

− 2m

₂₁

e

₂

σ

₂

(e

₃

) = e

₃

− 2m

₂₃

e

₂

d'où la matrice de σ

₂

:

S

₂

=





1 0 0

−2m

₁₂

−1 −2m

₃₂

0 0 1





De même, les vecteurs e

1

− 2m

31

e

3

et e

2

− 2m

32

e

3

sont xés par σ

3

et conduisent à la matrice de σ

3

.

S

3

=





1 0 0

0 1 0

−2m

31

−2m

32

−1





4. a. On a déjà calculé en I.5. la matrice M .

M =







1 − 1

2 0

− 1

2 1 − 1

√ 2 0 − 1

√ 2 1







On en déduit les matrices S

1

, S

2

et S

3

S

1

=





−1 1 0 0 1 0 0 0 1



 S

2

=





1 0 0

1 −1 √ 2

0 0 1



 S

3

=





1 0 0

0 1 0

0 √ 2 −1





puis leur produit

T = S

1

S

2

S

3

=





0 1 − √ 2 1 1 − √

2 0 √

2 −1





b. D'après l'expression de T , un vecteur u de coordonnées (x, y, z) dans B vérie τ(u) = −u si et seulement si



 



 



y − √

2z = −x x + y − √

2z = −y

√

2y − z = −z

⇔



 



 



x + y − √ 2z = 0 x + 2y − √

2z = 0

√ 2y = 0

⇔

( y = 0 x − √

2z = 0

On choisit donc le vecteur unitaire u = 1

√ 3

√

2e

1

+ e

3

On choisit un vecteur unitaire v orthogonal à u . Par exemple v = 1

√ 3

e

₁

− √ 2e

₃

On ne peut pas complèter la famille (u, v) par w = u ∧ v pour former une base orthonormée directe D = (u, v, w) car, la base B n'étant pas orthonormée directe, le calcul du produit vectoriel n'est pas facile. On va trouver un w en utilisant la condition d'orthogonalité de la question 1.

On cherche donc un w de coordonnées (x, y, z) dans B orthogonal à u et v . Cela se traduit par :

√

2 0 1 M



 x y z



 = 0

1 0 − √ 2

M



 x y z



 = 0

(5)

Avec l'expression de M de la question I.5, cela donne :







√ 2x − √

2y + z = 0 x + 1

2 y − √ 2z = 0

⇔





 x = 1

√ 2 z y = √

2z On en déduit que

(Vect(u, v))

^⊥

= Vect(e

1

+ 2e

2

+ √ 2e

3

) Le calcul du déterminant

√

2 1 1

0 0 2

1 − √ 2 √

2 = −2

√

2 1

1 − √ 2

= 6 montre que la famille (u, v, e

1

+ 2e

2

+ √

2e

3

) est directe.

Attention, comme la base n'est pas orthonormée, le carré de la norme de e

1

+ 2e

2

+ √

2e

3

n'est pas 7 mais ke

₁

+ 2e

₂

+ √

2e

₃

k

²

= 1 + 4 + 2 + 2 × (− 1

2 ) × (1 × 2) + 2 × 0 × (1 × √

2) + 2 × (− 1

√ 2 ) × (2 × √ 2) = 1 On choisira donc comme base orthonormée directe



 

 

 

  u = 1

√ 3

√

2e

1

+ e

3

v = 1

√ 3

e

1

− √

2e

3

w = e

1

+ 2e

2

+ √ 2e

3

c. On connait la matrice T de τ dans B . Pour obtenir la matrice de τ dans D on utilise la formule de changement de base

Mat

_D

τ = P

⁻¹

T P avec

P = P

_BD

=







√ 2

√ 3

√ 1

3 1

0 0 2

√ 1 3 −

√ 2

√ 3

√ 2







Pour obtenir la matrice P

⁻¹

, on doit exprimer e

1

, e

2

, e

3

en fonction de u , v , w .



 

 

 

  u = 1

√ 3

√

2e

1

+ e

3

v = 1

√ 3

e

₁

− √ 2e

₃

w = e

₁

+ 2e

₂

+ √

2e

₃

⇔



 



 

 e

1

=

r 2 3 u + 1

√ 3 v 2e

2

= w − e

1

− √

2e

3

e

3

= 1

√ 3 u − r 2

3 v d'où

e

2

= −

√

√ 2

3 u + 1 2 √

3 v + 1 2 w

P

⁻¹

=







√

√ 2 3 −

√

√ 2 3

√ 1 3

1 2 √

3 −

r 2 3

0 1

2 0







On en déduit :

Mat

_D

τ = P

⁻¹





0 1 − √ 2 1 1 − √

2 0 √

2 −1



 P =







−1 0 0

0 1

2 −

√ 3 2 0

√ 3 2

1 2







La transformation τ est donc une rotation miroir, composée de la rotation d'angle

π

3

autour de u et de la réexion par rapport au plan orthogonal à u .