On désigne par M la matrice réelle carrée d'ordre n et de coecient m

MPSI B Année 2015-2016 DM 18 pour le 17/06/16 29 juin 2019

Dans tout le problème

, on désigne par n un entier égal à 2 ou 3 et par A une matrice (n, n) symétrique dont les coecients a

sont des entiers naturels non nuls. Les coecients de la diagonale principale de A sont des 1.

On désigne par M la matrice réelle carrée d'ordre n et de coecient m

déni par : m

= − cos π

a

Dans le cas n = 2 , on notera

a = a 12 = a 21 , m = m 12 = m 21 = − cos

On désigne par E un espace vectoriel euclidien orienté de dimension n dont le produit scalaire est noté (./.) . On se propose d'étudier les bases B = (e 1 , · · · , e

) telles que :

∀(i, j) ∈ J 1, n K

2 , (e

/e

) = m

On dira alors que B vérie la propriété M .

Partie I. Existence d'une famille vériant M . 1. Calculer le déterminant de M pour n égal à 2 ou 3.

2. Montrer que s'il existe une base B vériant M alors a

≥ 2 pour tous les couples (i, j) tels que i 6= j .

Dans toute la suite du problème, on suppose a

≥ 2 pour tous les couples (i, j) tels que i 6= j .

3. Cas n = 2 . Construire une base directe vériant M .

4. Cas n = 3 . On veut construire une base directe B = (e ₁ , e ₂ , e ₃ ) vériant M . Soit (a ₁ , a ₂ , a ₃ ) une base orthonormée directe de E , on pose e ₁ = a ₁ .

a. Préciser un vecteur e ₂ ∈ Vect(a ₁ , a ₂ ) tel que

(e ₁ , e ₂ , a ₃ ) directe et (e ₁ /e ₂ ) = m ₁₂ b. L'ensemble des vecteurs x de E tels que

( (x/e 1 ) = m 13

(x/e ₂ ) = m ₂₃

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d'après Centrale Supélec 2 PC 2005

forme une droite ane D .

Quelle est sa direction ? Calculer les coordonnées dans (a 1 , a 2 ) du point d'inter- section D avec le plan Vect(a ₁ , a ₂ ) . En déduire la distance du vecteur nul à la droite D .

c. Traduire par une propriété géométrique faisant intervenir D l'existence d'un vec- teur e 3 tel que (e 1 , e 2 , e 3 ) vérie M .

d. Montrer que si det M > 0 il existe une base B vériant M . 5. Cas particulier n = 3 et

A =





1 3 2 3 1 4 2 4 1





Préciser M et montrer qu'il existe une base B vériant M . Partie II. Famille de réexions.

Dans cette partie, B = (e ₁ , · · · , e

) est une base directe vériant M . On désigne par σ

la réexion telle que

σ

(e

) = −e

1. On considère deux vecteurs x et y de E admettant pour coordonnées dans B respecti- vement (x 1 , · · · , x

) et (y 1 , · · · , y

) . Comment peut-on traduire matriciellement qu'ils sont orthogonaux ?

2. Cas n = 2 .

a. Former les matrices S 1 , S 2 , T dans B de σ 1 , σ 2 et τ = σ 1 ◦ σ 2 . Pour trouver S1 , on pourra par exemple considérer le vecteur me 1 − e 2 qui est orthogonal à e 1 . b. Soit C = (a ₁ , a ₂ ) une base orthonormée directe avec a ₁ = e ₁ . Former les matrices

dans C de σ ₁ , σ ₂ et τ . En déduire la nature et les éléments géométriques de τ . 3. Cas n = 3 . Former les matrices S 1 , S 2 , S 3 dans B de σ 1 , σ 2 , σ 3 . On pourra par exemple

considérer les vecteurs m 12 e 1 − e 2 et m 13 e 1 − e 3 qui sont orthogonaux à e 1 . 4. Cas particulier n = 3 et

A =





1 3 2 3 1 4 2 4 1



 a. Former la matrice T de τ = σ ₁ ◦ σ ₂ ◦ σ ₃ dans B .

b. Déterminer un vecteur unitaire u tel que τ(u) = −u puis une base orthonormée directe D = (u, v, w) . On choisira un vecteur v combinaison linéaire de e 1 et e 3 . c. Former la matrice de τ dans D . En déduire sa nature et ses éléments géométriques.

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

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