EPFL 15 mars 2010 Algèbre linéaire
1ère année 2009-2010
Série 17
Dans cette série, le symboleFdésigne soit R, soit C.
L’exercice 4 est àrédiger soigneusement et à rendre le lundi 22 mars au début de la séance d’exercices.
Exercice 1. 1. Trouver la matrice de la projection orthogonale deR3sur le planPd’équationx+2y−3z= 0, par rapport au produit scalaire usuel.
2. Soit B = ((2,0,0),(0,−1,2),(0,2,1)) ⊆ F3. Montrer que B est une base de F3 et, sans résoudre de système, calculer[v]B pourv= (v1, v2, v3)∈F3.
3. Que se passerait-il si on essayait d’appliquer le procédé de Gram–Schmidt à une liste liée ? Exercice 2. SoitV =P2(R), muni du produit scalaire φ(p, q) =R1
−1p(t)q(t)dt.
1. Trouver une base orthonormaleB= (p0, p1, p2) de V telle que pi est de degréi.
2. Considérons U = P1(R) comme sous-espace vectoriel de P2(R). Quel est son complément orthogonal P1(R)⊥? En donner une base orthonormale.
3. Faire la même chose que dans les questions précédentes pour V = P2(C), muni du produit scalaire ψ(p, q) =P2
i=0p(i)q(i) etU =P1(C).
4. Calculer[2X2−1]C et[iX+ 3]C, oùC est la base trouvée en 3.
Exercice 3. On définit pour i∈N la suite ei ∈ `2(N) (voir l’exercice 3 de la série 14 pour la définition de cet espace vectoriel) :
(ei)n=
(1 sin=i 0 sinon etU := span(ei |i∈N)⊂`2(N). Montrer que
1. (ei|i∈N) est une liste orthonormale.
2. Une suite réelle (an)n∈N est un élément de U, si et seulement si il existe N ∈ N tel que an = 0 pour toutn > N. En déduire queU (`2(N).
3. Montrer que U⊥ = {0}. En particulier, on n’obtient pas U ⊕U⊥ = `2(N). On a donc montré que la Proposition 7.5 du polycopié n’est pas forcément vraie si W n’est pas de dimension finie.
Exercice 4. 1. SoitV unF-espace vectoriel de dimension finie. SoientU, W ⊆V des sous-espaces vecto- riels deV. Montrer que (U ∩W)⊥=U⊥+W⊥.
2. Soit maintenantV =`2(N),U = span(ei |i∈N) comme dans l’exercice précédent etW = span(a), où a∈`2(N)est la suite géométrique de raison 12, c’est-à-direai = 12i
. Montrer queU⊥+W⊥((U∩W)⊥. L’égalité démontrée en 1 n’est donc pas forcément vraie siV est de dimension infinie.
