A353. Les entiers homogéniques
Deux entiers naturels sont appelés par convention « homogéniques » s’ils ont les propriétés suivantes :
- ils sont distincts,
- l’un et l’autre ont k chiffres,
- le même chiffre commence et termine les deux entiers, - les k premiers chiffres de leur produit sont identiques, - les k derniers chiffres de leur produit sont identiques.
Trouver le couple d’entiers homogéniques dont le produit est le plus petit possible.
Solution proposée par Jean Nicot
Il faut k>2 pour satisfaire aux trois premières propriétés, en supposant que les k premiers et les k derniers chiffres du produit sont différents, ; le produit possède alors 2k chiffres
Recherchons un couple d’entiers A et B, de 3 chiffres, dont la représentation décimale est cac et cbc. On peut imposes a<b. Leur produit P sera noté dddfff
Pour que le produit ait 2k chiffres, il faut c>2.
Si k =3
Si c= 3 f=9 et d= 1 111999=3*37*1009 un facteur trop grand Si c=4 f=6 et d= 1 ou 2 111666=2*3*37*503 mais 503 non terminé par 4
222666=2*3*17*37*59 mais 59*2*3=354 ne convient pas Si c=5 f=5 et d=2 ou 3 222555=3*5*37*401 n’a pas deux facteurs terminés par 5 333555=3*5*37*601 n’a pas deux facteurs terminés par 5 Si c=6 f=6 et d= 3 ou 4 333666=2*3*3*3*37*167 un seul facteur pair
444666=2*3*37*2003 un facteur trop grand
Si c=7 f=9 et d= 4 ou 5 ou 6 444999=3*19*37*211 211 ne peut être facteur de A ou B 555999=3*37*5009 un facteur trop grand
666999=3*3*37*2003 un facteur trop grand
Si c=8 f=4 et d= 6 ou 7 666444=2*2*3*19*37*79 mais 37*19=703 ne convient pas 777444=2*2*3*17*37*103 mais 2*3*103=618 ne convient pas Si c=9 f=1 et d=8 ou 9 888111=3*3*3*7*37*127 mais 7*127=889 ne convient pas 999111=3*37*9001 un facteur trop grand
Le nombre de chiffres k est supérieur à 3
Si k =4
Si c= 3 f=9 et d= 1 11119999=11*101*10009 un facteur trop grand Si c=4 f=6 et d= 1 ou 2 11116666=2*11*101*5003 mais 5003 ne convient pas
22226666=2*7*101*1429 mais 101*2*7=1414 ne convient pas Si c=5 f=5 et d=2 ou 3 22225555=5*11*101*4001 n’a pas deux facteurs terminés par 5
33335555=5*11*17*101*353 n’a pas deux facteurs terminés par 5 Si c=6 f=6 et d= 3 ou 4 33336666=2*3*3*11*101*1667 un seul facteur pair
44446666=2*11*83*101*241 un seul facteur pair Si c=7 f=9 et d= 4 ou 5 ou 6 44449999= 11*101*40009 un facteur trop grand
55559999=11*43*101*1163 aucun facteur terminé par 7 66669999=3*11*83*101*241 aucun facteur terminé par 7
Si c=8 f=4 et d= 6 ou 7 ou 8 66664444=2*2*7*11*101*2143 2143 ne peut être facteur de A ou B 77774444=2*2*11*11*37*43*101 mais 37*2*2*11=1628 ne convient pas 88884444=2*2*3*11*59*101*113 mais 59*2*11=1298 ne convient pas Si c=9 f=1 et d=8 ou 9 88881111=3*3*3*11*101*2963 mais 2963*3=8889 ne convient pas 99991111=11*101*90001 un facteur trop grand
Le nombre de chiffres k est supérieur à 4
Si k =5
Si c= 3 f=9 et d= 1 1111199999=7*7*13*41*157*271 mais 7*7*157=7693 ne peut convenir Si c=4 f=6 et d= 1 ou 2 1111166666=2*31*41*271*1613 aucun facteur terminé par 4
2222266666=2*41*271*100003 un facteur trop grand
Si c=5 f=5 et d=2 ou 3 2222255555=5*13*17*41*181*271 n’a pas deux facteurs terminés par 5 3333355555=5*29*41*271*2069 n’a pas deux facteurs terminés par 5 Si c=6 f=6 et d= 3 ou 4 3333366666=2*3*3*7*41*271*2381 un seul facteur pair
4444466666=2*41*271*200003 un facteur trop grand Si c=7 f=9 et d= 4 ou 5 ou 6 4444499999= 41*271*400009 un facteur trop grand 5555599999=41*271*500009 un facteur trop grand 6666699999=3*41*271*200003 un facteur trop grand Si c=8 f=4 et d= 6 ou 7 ou 8 6666644444=2*2*41*271*150001 un facteur trop grand
7777744444=2*2*41*139*271*1259 mais 139*271*2=75338 ne convient pas 8888844444=2*2*3*41*163*271*409 mais 409*2*41=33538 ne convient pas Si c=9 f=1 et d=8 ou 9 8888811111=3*3*41*103*271*863 mais 863*103=88889 ne convient pas 9999911111=41*271*900001 un facteur trop grand
Le nombre de chiffres k est supérieur à 5
Si k =6
Si c= 3 f=9 et d= 1 111111999999=3*7*11*13*37*293*3413 or 3413*7*13=310583 et 3*11*37*293=357753 ce qui fournit la première solution 310583*357753=111111999999 Si c=4 f=6 et d= 1 ou 2 111111666666=2*3*7*7*11*13*37*71429 un seul facteur pair
222222666666=2*3*7*11*13*37*1000003 un facteur trop grand
Si c=5 f=5 et d=2 ou 3 222222555555=3*5*7*7*11*13*37*57143 n’a pas deux facteurs terminés par 5 333333555555=3*5*7*11*13*19*37*1373 n’a pas deux facteurs terminés par 5 Si c=6 f=6 et d= 3 ou 4 333333666666=2*3*3*3*7*1*13*37*166667 166667*(2 ou 3 ou 4 ou 6) ne
convient pas
444444666666=2*3*7*11*13*37*2000003 un facteur trop grand
Si c=7 f=9 et d= 4 ou 5 ou 6 444444999999= 3*7*11*13*13*37*307693 307693*3=923079 inadéquat 55555999999=3*7*7*7*11*13*37*67*1523
23*7*7*11*13*37=777777 et 7*67*1523=714287, ce qui convient On ainsi un second résultat : 714287*777777 = 555555999999
6666699999=3*41*271*200003 un facteur trop grand Si c=8 f=4 et d= 6 ou 7 ou 8 6666644444=2*2*41*271*150001 un facteur trop grand
7777744444=2*2*41*139*271*1259 mais 139*271*2=75338 ne convient pas 8888844444=2*2*3*41*163*271*409 mais 409*2*41=33538 ne convient pas Si c=9 f=1 et d=8 ou 9 8888811111=3*3*41*103*271*863 mais 863*103=88889 ne convient pas 9999911111=41*271*900001 un facteur trop grand
Il n’y a pas d’autre résultat avec k=6
On a supposé que le produit A*B générait une retenue pour avoir d et f différents ; si ce n’est pas le cas, alors tous les chiffres du produit sont les mêmes, égaux à f, en nombre 2k-1.
Dans ce cas, c peut prendre les seules valeurs 1, 2 ou 3.
Pour k=3
Si c= 1 f=1 11111 =41*271 ne convient pas Si c=2 f=4 44444 =2*2*41*271 = 82*542 ne convient pas Si c=3 f=9 99999 =3*3*41*371= 123*1113 ne convient pas
Pour k=4
Si c= 1 f=1 1111111 =239*4649 ne convient pas
Si c=2 f=4 4444444 =2*2*239*4649 ne convient pas car 239*2*2=956 trop faible Si c=3 f=9 9999999 =3*3*239*4649 ne convient pas car 239*3*3=2151
Pour k=5
Si c= 1 f=1 111111111 =3*3*37*333667 un facteur trop grand Si c=2 f=4 444444444 =2*2*3*3*37*333667 un facteur trop grand Si c=3 f=9 99999999 =3*3*3*3*37*333667 un facteur trop grand
Pour k=6
Si c= 1 f=1 11111111111 =21649*513239 ne convient pas Si c=2 f=4 44444444444 =2*2*21649*513239 ne convient pas Si c=3 f=9 99999999999 =3*3*21649*513239 ne convient pas
Pour k=7
Si c= 1 f=1 1111111111111 =53*79*265371653 un facteur trop grand Si c=2 f=4 4444444444444 =2*2*53*79*265371653 un facteur trop grand Si c=3 f=9 9999999999999 =3*3*53*79*265371653 un facteur trop grand
Lorsque le produit n’a que 2k-1 chiffres, on ne trouve pas de solution inférieure à celle déjà obtenue : 310583*357753=111111999999
