A353-Les entiers homogéniques [*** à la main]
Deux entiers naturels sont appelés par convention « homogéniques » s’ils ont les propriétés suivantes:
- ils sont distincts,
- l’un et l’autre ont k chiffres,
- le même chiffre commence et termine les deux entiers, - les k premiers chiffres de leur produit sont identiques, - les k derniers chiffres de leur produit sont identiques.
Trouver le couple d’entiers homogéniques dont le produit est le plus petit possible.
Solution proposée par François Tisserand
La troisième propriété est interprétée de la manière suivante : chacun des entiers commence et se termine par le même chiffre et ce chiffre n’est pas nécessairement le même pour les deux nombres.
Soient N1 et N2 les deux entiers naturels recherchés. N1 ≠ N2
N1 et N2 s’écrivent respectivement (en base 10) : N1= {a1,a2,…ak} k facteurs avec ak=a1
N2= {b1,b2,…bk} k facteurs avec bk=b1
Soit P= N1*N2={p1,p2,…..pk,pk+1,….p2k} avec p1=p2=…pk et pk+1= pk+2=…p2k
Analyse des possibilités : k=1 :
N1= {a1} et N2= {b1} avec a1 et b1 1 ≥ et ≤ 9 (a1 et b1 sont deux chiffres)
P= N1*N2={p1,p1}=p1+p1*[10]=p1*11 qui est un multiple de 11 donc n’est pas le produit de deux chiffres.
Donc pas de solution pour k=1.
k=2 :
les deux nombres N1 et N2 (ainsi que le produit) s’écrivent :
N1= {a1,a1} et N2= {b1,b1} (a1≠b1) et P= N1*N2={p1,p1,p2,p2} N1= a1+10*a1=11a1 et de même N2=11b1
Donc :
N1*N2=a1*b1*121
Si on pose (a1*b1)=x+y*[10] (décomposition du produit a1*b1 en base 10) Alors,
N1*N2= (x+y*[10])*(1+2*[10]+1*[100])=x+(2x+y)*[10]+(2y+x)*[100]+y*[1000]
Or
N1*N2= p1+ p1*[10]+ p2*[100]+p2*[1000]
On en déduit donc:
(1) x=p1
(2) 2x+y=p1+10*R1 (R1 retenue éventuelle du produit 2x+y) (3) 2y+x+R1=p2+10R2 (R2 retenue éventuelle du produit 2y+x+R1) (4) y+R2=p2
si on combine (1) et (2) (en éliminant p1) on obtient : (5) x+y=10R1
la somme x+y est :
non nulle
inférieure à 20 (comme x et y sont des chiffres (1 ≥ et ≤ 9 )) alors R1=1 (seule possibilité) donc x+y=10
Le tableau suivant identifie les possibilités pour x et y comme solution de (5).
x y x+10y a1*b1 Commentaires
1 9 91 13*7 Pas le produit de 2 chiffres 2 8 82 41*2 pas le produit de 2 chiffres
3 7 73 73*1 Nombre premier
4 6 64 8*8
implique N1=N2 sinon pas le produit de 2 chiffres
5 5 55 11*5 Pas le produit de 2 chiffres 6 4 46 23*2 pas le produit de 2 chiffres
7 3 37 37*1 Nombre premier
8 2 28 7*4 Solution
9 1 19 19*1 Nombre premier
La seul possibilité est :
a1=4 donc N1=44
a2=7 donc N2=77
le produit N1*N2=3388
le plus petit couple d’entiers homogéniques est {44, 77}.
