Corrigé du DM du 20/11/17 Partie A : divisibilité des rep-units dans quelques cas particuliers
1. ܰ se termine par le chiffre 1, il n’est donc pas pair. De plus les nombres divisibles par 5 se terminent par 0 ou 5, ܰ n’est donc pas divisible par 5. Conclusion : ܰ n’est divisible ni par 2 ni par 5.
2. Dans cette question, on étudie la divisibilité de ܰ par 3.
a. 10 = 3 × 3 + 1 ≡ 1[3], ainsi, pour tout entier naturel ݆, 10 ≡ 1 [3] ≡ 1[3]
b. ܰ= 1 + 10 + 10ଶ+ ⋯ + 10ିଵ ≡ 1 + 1 + ⋯ + 1ᇣᇧᇧᇧᇤᇧᇧᇧᇥ
୲ୣ୰୫ୣୱ
[3] ≡ [3]
On en déduit que ܰ≡ [3].
c. ܰ est divisible par 3 ܰ≡ 0[3] ≡ 0[3] est divisible par 3.
3. a.
m 0 1 2 3 4 5 6
a 1 3 2 -1 -3 -2 1
b. Soit un entier naturel non nul.
La division euclidienne de par 6 donne = 6ݍ + ݎ où 0 ≤ ݎ < 6 Ainsi, 10= 10ା= ሺ10ሻ× 10 ≡ 1× 10[7] ≡ 10[7]
D’après le tableau précédent, 10 ≡ 1[7] ⇔ ݎ = 0 ⇔ = 6ݍ ⇔ est un multiple de 6.
Conclusion : 10≡ 1 [7] si et seulement si est un multiple de 6.
c. ܰ est la somme des premiers termes d’une suite géométrique de 1er terme 1 et de raison 10
ܰ= 1 + 10 + 10ଶ+ ⋯ + 10ିଵ =൫10ሺିଵሻାଵ− 1൯
10 − 1 =10− 1 9
d. Si 7 divise ܰ alors 7 divise tout multiple de ܰ, donc, en particulier, 7 divise 9ܰ.
Si 7 divise 9ܰ, comme 7 et 9 sont premiers entre eux, alors, d’après le résultat admis, 7 divise ܰ. D’où l’équivalence : « 7 divise ܰ» est équivalent à « 7 divise 9ܰ».
e. ܰ est divisible par 7 9ܰ est divisible par 7 10− 1 est divisible par 7 10≡ 1 [7]
est un multiple de 6, d’après la question 3.b.
Conclusion : ܰ est divisible par 7 si et seulement si est un multiple de 6.
Partie B : un rep-unit strictement supérieur à 1 n’est jamais un carré parfait 1. a.
݊ ≡. . . [10] 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
݊ଶ≡. . . [10] 0 1 4 9 6 5 6 9 4 1
b. Si ݊ଶ≡ 1[10], d’après le tableau ci-dessus, cela signifie que ݊ ≡ 1[10] ou ݊ ≡ 9[10] ≡ −1[10]
On en déduit qu’il existe un entier naturel ݉ tel que ݊ = 10݉ + 1 ou ݊ = 10݉ − 1. c. On obtient ݊ଶ= ሺ10݉ + 1ሻଶ= 100݉ଶ+ 20݉ + 1 = 20ሺ5݉ଶ+ ݉ሻ + 1 ≡ 1[20]
Ou ݊ଶ= ሺ10݉ − 1ሻଶ= 100݉ଶ− 20݉ + 1 = 20ሺ5݉ଶ− ݉ሻ + 1 ≡ 1[20]
Dans les deux cas, ݊ଶ≡ 1[20].
2. Soit un entier naturel supérieur ou égal à 2.
ܰ= 1 + 10 + 10ଶ+ ⋯ + 10ିଵ = 11 + 10ଶ+ 10ଷ+ ⋯ + 10ିଵ Pour tout entier naturel ݆ ≥ 2, 10= 10ଶ× 10ᇣᇤᇥିଶ
∈ℕ
= 100 × 10ିଶ= 20 × 5 × 10ିଶ≡ 0[20]
ܰ= 11 + 10ଶ+ 10ଷ+ ⋯ + 10ିଵ≡ 11 + 0 + 0 + ⋯ + 0[20] ≡ 11[20]
Le reste de la division euclidienne de ܰ par 20 est donc 11.
3. On a vu que ݊ଶ≡ 1[10] ⇒ ݊ଶ≡ 1[20]
Le rep-unit ܰ a pour reste 1 dans la DE par 10.
S’il était un carré parfait, son reste serait 1 dans la DE par 20, ce qui n’est pas le cas.
On en déduit que, pour entier naturel supérieur ou égal à 2, le rep-unit ܰ n’est pas le carré d’un entier.
