Deux entiers naturels sont appelés par convention « homogéniques » s’ils ont les propriétés suivantes :
- ils sont distincts,
- l’un et l’autre ont k chiffres,
- le même chiffre commence et termine les deux entiers, - les k premiers chiffres de leur produit sont identiques, - les k derniers chiffres de leur produit sont identiques.
Trouver le couple d’entiers homogéniques dont le produit est le plus petit possible.
Soit p le chiffre qui commence et termine les deux entiers ; si p≥4 (et dans certains cas p=3), le produit a 2k chiffres ; s’il en a 2k-1, ceux-ci seraient tous identiques, égaux à p2 (soit 1, 4 ou 9) : dans ce cas, il n’y a une solution pour p=2 ou 3 que s’il y en a une pour p=1 ; or le produit de deux nombres de k chiffres A=1a...1 et B=1b...1 commençant et finissant par 1 ne peut être égal au répunit 1...1...1 écrit avec 2k-1 chiffres 1 : en effet, en développant la multiplication en partant des unités, on montre pas à pas que la somme des chiffres de même rang dans A et B (à partir des dizaines) serait égale à 1, donc leur produit serait nul, et on ne peut alors obtenir le 1 de rang le plus élevé.
Le produit comporte donc 2k chiffres, et peut se factoriser : a...ab...b=1...1*(a0...0b), le premier facteur ayant k chiffres, le second k+1 (avec p2=10a+b ou 10(a-1)+b) On peut déjà éliminer les cas où p=4 ou 6, car un nombre finissant par 66 n’est pas divisible par 4, et le cas p=5 car un nombre finissant par 55 n’est pas divisible par 25.
Pour le premier facteur, 11 est premier, 111=3*37, 1111=11*101, 11111=41*271, 111111=3*7*11*13*37.
Pour le second si p=3, 19, 109, 1009, 10009 sont premiers et ne peuvent donner des produits commençant et finissant par 3 ;100009=72*13*157 non plus, mais
1000009=293*3413 , or 7*13*3413=310583 et 3*11*37*293=357753 sont donc homogéniques.
Si p=7, 59, 509, 5009, 500009 sont premiers et ne donnent pas de solution,
50009=43*1163 non plus ; 5000009 est divisible par 7, le quotient valant 714287, donc 714287 et 777777 sont homogéniques.
Pour p=9, 80...01 est toujours divisible par 9, mais le quotient ne commence pas par 9 Enfin, 64=26, 604=22*151, 6004=22*19*79, 60004=22*7*2143, 600004=22*150001, 6000004=22*557*2693 ; 74=2*37, 704=26*11, 7004=22*17*103,
70004=22*11*37*43, 700004=22*139*1259, 7000004=22*11*23*6917;
91=7*13, 901=17*53, 9001, 90001, 900001 (premiers) et 9000001=61*1474541 ne donnent pas de solution.
La plus petite solution est donc 310583*357753=111111999999.
