Q₁ On considère la suite d’entiers 1,1,2,3,5,8,4,3,7,1,8,9,…. Déterminer le 2021ième terme.
Q₂ Combien y a-t-il de suites distinctes d’entiers consécutifs dont la somme est égale à 2021 ? Nota : les deux questions sont indépendantes.
Q1 : La suite commence comme celle de Fibonacci, mais on y trouve 4 au lieu de 13, 3 au lieu de 21, 7 au lieu de 34, ... On pourrait penser à la somme des chiffres des termes de cette suite, mais on a ensuite 1 pour 55, 8 pour 89 et 9 pour 144 : chaque terme est donc la somme des chiffres de la somme des deux termes précédents. Chaque terme est donc compris entre 1 et 9, et, le nombre de combinaisons de termes consécutifs étant limité, la suite est obligatoirement périodique : on trouve en effet qu’elle reprend au début après 24 termes : 1, 1, 2, 3, 5, 8, 4, 3, 7, 1, 8, 9, 8, 8, 7, 6, 4, 1, 5, 6, 2, 8, 1, 9, 1, 1,...
Puisque 2021=84*24+5, le 2021ème terme est égal au cinquième, soit 5.
Q2 : La somme des entiers de m+1 à m+k est (m+1)+(m+2)+...+(m+k)=k(2m+k+1)/2=2021 Comme 4042=2*43*47 les seules possibilités sont : k=1, m=2020 ; k=2, m=1009 ; k=43, m=25 ; k=47, m=19, k=86, m=-20 ; k=94, m=-26 ; k=2021, m=-1010 ; k=4042, m=-2021.
Soit : 2021, (1010, 1011), (26, ..., 68), (20, ..., 66), (-19, ... , 66), (-25, ..., 68), (-1009, ..., 1011) et (-2020, ..., 2021).
