Enoncé A632 (Diophante) Les partitions du millésime On s’intéresse aux partitions de l’entier 2018 en k entiers distincts stricte- ment positifs dont le PPCM (plus petit commun multiple) p

Enoncé A632 (Diophante) Les partitions du millésime

On s’intéresse aux partitions de l’entier 2018 enkentiers distincts stricte- ment positifs dont le PPCM (plus petit commun multiple) p_k est le plus petit possible.

Ainsip1 = 2018 etp2 = 2016 avec la partition 2018 = 2016+2, toute autre partition de 2018 de la forme 2018 = a+ (2018−a) donnant un PPCM de aet 2018−astrictement supérieur à 2016.

Q₁ Démontrer que la suite despk contient un nombre fini de termes.

Q₂ Déterminer les termes de la suite desp_k pour k variant de 3 à 9.

Q₃ Déterminer la valeur minimale des termes de la suite des p_k et les indices k pour lesquel cette valeur minimale est atteinte.

Q₄ Pour les plus courageux : déterminer la valeur du dernier terme de la suite des p_k.

Solution de Jean Moreau de Saint-Martin

Question 1

La somme dekentiers distincts strictement positifs est au moinsk(k+1)/2, valeur obtenue avec les entiers de 1 à k. Pourk = 64, c’est 2080>2018.

Ainsik≤63.

Question 2

k p_k 2018 = 1 2018 2018 2 2016 2016 + 2 3 1344 1344 + 672 + 2 4 1152 1152 + 576 + 288 + 2 5 1080 1080 + 540 + 360 + 36 + 2 6 960 960 + 480 + 320 + 240 + 16 + 2

7 840 840 + 420 + 280 + 210 + 168 + 60 + 40 8 840 840 + 420 + 280 + 210 + 168 + 60 + 35 + 5 9 780 780 + 390 + 260 + 195 + 156 + 130 + 78 + 26 + 3

Ces valeurs de p_k sont obtenues par tâtonnements et je ne garantis pas leur minimalité.

Question 3

720 = 2⁴·3²·5 a 5·3·2 = 30 diviseurs de somme 31·13·6 = 2418. Pour retrancher 400 de cette somme, il faut retirer au moins deux diviseurs, ce qui laisse 30−2 = 28 termes au plus pour le PPCM 720.

720 apparaît comme le minimum depk, valable pour 10≤k≤28 comme le montre le tableau page suivante.

Pour la commodité de mise en page, ce sont les diviseurs manquants que je note pourk >15.

k 2018 =

10 720 + 360 + 240 + 180 + 144 + 120 + 90 + 80 + 72 + 12 11 720 + 360 + 240 + 180 + 144 + 120 + 90 + 80 + 36 + 30 + 18 12 720 + 360 + 240 + 180 + 144 + 120 + 90 + 80 + 36 + 30 + 12 + 6 13 720 + 360 + 240 + 180 + 144 + 120 + 90 + 80 + 36 + 30 + 12 + 4 + 2 14 720 + 360 + 240 + 180 + 144 + 120 + 90 + 80 + 36 + 30 + 12 + 3 + 2 + 1 15 720 + 360 + 240 + 180 + 144 + 120 + 90 + 80 + 36 + 30 + 8 + 4 + 3 + 2 + 1 16 2418−144−72−60−36−30−24−20−10−8−6−4−3−2−1 17 2418−144−80−60−36−24−20−12−8−6−4−3−2−1 18 2418−180−80−60−24−20−12−8−6−4−3−2−1 19 2418−240−80−24−20−12−8−6−4−3−2−1 20 2418−240−80−40−16−8−6−4−3−2−1 21 2418−240−120−16−8−6−4−3−2−1 22 2418−360−16−8−6−4−3−2−1 23 2418−360−24−6−4−3−2−1 24 2418−360−24−10−3−2−1 25 2418−360−24−12−3−1 26 2418−360−36−3−1 27 2418−360−36−4 28 2418−360−40

Question 4

Il découle de la question 1 que le dernier terme est p63. Comme la somme des entiers de 1 à 63 est 2016, les décompositions de 2018 en somme de 63 termes sont

1 + 2 +. . .+ 61 + 62 + 65 et 1 + 2 +. . .+ 61 + 63 + 64.

Le PPCM est le produit des plus grandes puissances de nombres premiers divisant les termes de la somme, soit pour la première

32·27·25·49·11·13·17·19·23·29·31·37·41·43·47·53·59·61 =p₆₃=

= 591133442051411133755680800.

et pour la seconde 2p63 en raison de la présence du terme 64.