A639. Multipartitions ***
Soit un entier n ≥ 3. Démontrer qu’il existe toujours au moins un ensemble E de 2n entiers positifs distincts qui satisfont la propriété suivante : pour tout entier m = 2,3,…,n on peut réaliser une partition de E en deux sous-ensembles de même somme avec l’un des sous-ensembles de cardinal m.
Application numérique : trouver le plus grand entier n tel que les deux éléments extrêmes de E sont égaux à 1 et 2021.
PROPOSITION Th Eveilleau
La somme des entiers doit être un nombre pair.
Exemples
n=3 1, 2, 3, 4, 5, 6 Somme totale 20=4*5 m=2 6+4=10
m=3 6+3+1=10
n=4 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 14 Somme totale 42=6*7 m=2 14+7=21
m=3 14+6+1=21 m=4 14+4+2+1= 21
n=5 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 18 Somme totale 56=2*28 m=2 10+18=28
m=3 2+8+18=28 m=4 2+3+5+18=28 m=5 2+3+1+4+18=28
n=6 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 15, 40 Somme totale 110=2*55 m=2 15+40 =55
m=3 5+10+40 =55 m=4 5+1+9+40 =55 m=5 5+1+2+7+40 =55 m=6 5+1+2+3+4+40 =55
n=7 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 21, 57 Somme totale 156=2*78 m=2 21+57 =78
m=3 10+11+57 =78 m=4 1+9+11+57 =78 m=5 1+2+7+11+57 =78 m=6 1+2+3+4+11+57 =78 m=7 1+2+3+4+5+6+57 =78
n=8 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 15, 28, 78 Somme totale 212=2*106 m=2 28+78 =106
m=3 15+13+78 =106 m=4 15+1+12+78 =106 m=5 15+1+2+10+78 =106 m=6 15+1+2+3+7+78 =106 m=7 6+9+1+2+3+7+78 =106
m=8 6+5+4+1+2+3+7+78 =106 OU 1+2+3+4+5+6+7+78=106
n=9 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 21 , 36, 105 Somme totale 282=2*141 m=2 36+105 =141
m=3 15+21+105 =141 m=4 1+14+21+105 =141 m=5 1+2+12+21+105 =141 m=6 1+2+3+9+21+105 =141 m=7 1+2+3+4+5+21+105 =141 m=8 1+2+3+4+5+6+15+105 =141 m=9 1+2+3+4+5+6+7+8+105 =141
n=10 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 28, 45, 136 Somme totale 342=2*181 m=2 45+136 =181
m=3 17+28+136 =181 m=4 1+16+28+136 =181 m=5 1+2+14+28+136 =181 m=6 1+2+3+11+28+136 =181 m=7 1+2+3+4+7+28+136 =181 m=8 1+2+3+4+7+11+17+136 =181 m=9 1+2+3+4+7+5+6+17+136 =181 m=10 1+2+3+4+5+6+7+8+9+136 =181
Par la suite, il faut que le a2n-2 ème terme puisse être obtenu avec la somme de deux des termes qui le précèdent...
Le procédé est récursif.
ANALYSE pour n=10
Pour trouver une solution, on peut procéder comme suit.
Nommons les 2ntermes de l’ensemble : a1, a2 , ... a2n-2, a2n-1, a2n Choisissons pour les 2n-3 premiers termes : les entiers de 1 à 2n-3.
Prenons a2n-1 = 1+2+3+...+(n-1) = n(n-1)/2
Choisir ensuite a2n-2 = a2n-1 - (2n-3) = n(n-1)/2 - 2n+3
Ensuite prendre a2n = (2n-3)(2n-2)/2 + a2n-2 - a2n-1 = (2n-3)(2n-2)/2 + n(n-1)/2 - 2n+3 - n(n-1)/2 a2n = (2n-3)(n-1) - 2n+3
Ceci est la valeur obtenue en prenant une suite constituée des plus petites valeurs possibles.
On obtient donc la liste la plus grande valeur de n pour le dernier terme trouvé.
Exemple avec 2021 comme dernier terme 1,2,3,..n, ... 2(n-1), a, 2021
Avec n, la plus petite somme possible est 2(n-1)[2(n-1)+1]/ 2 + (n-1)n/2 + 2021
La somme de tous les termes sauf les deux plus grands, doit être inférieure à 2020+2021=4041 Il faut a 1+2+3+...+n-1, puisque a doit être décomposé en ( n-1) termes lorsque m=n
Ceci implique que a (n-1)n/2
et donc que la somme totale S est telle que 2(n-1)[2(n-1)+1]/2 + (n-1)n/2+2021 S 4041 Ceci implique que 2021 < 2n*(2n+1) /2< 4041 SOIT
2021 < n*(2n+1) < 4042 Donc 31<n<45
L’avant dernier terme doit pouvoir être obtenu comme somme de n-1 termes, mais aussi come somme de deux des termes précédents, d’où la nécessité de recommencer la procédure avec n-1.
