E345-L'énigme d'Andy *****
E3. Les problèmes impossibles Zig a rendu visite à Alice (A), Benjamin (B) et Cunégonde (C), les trois spécialistes du calcul des décimales du nombre π (voir D1846). Il a inscrit sur le front de chacun d’eux un entier positif en leur signalant que l’un des trois entiers est la somme des deux autres.
Le dialogue suivant s’établit entre les trois amis : Alice : Je ne connais pas mon nombre.
Benjamin : Je ne connais pas mon nombre.
Cunégonde : Je ne connais pas mon nombre.
Alice : Je connais mon nombre qui est 95 Déterminez les deux autres nombres.
Source : Andy Liu – Maths Horizons Février 2004
PROPOSITION Th Eveilleau
La réponse est Alice : 95,Benjamin : 38 et Cunégonde 57. On peut évidemment permuter Benjamin et Cunégonde.
L’astuce repose sur le fait que 57-38=19 et que 38 = 2*19.
1er tour
Alice voit 38 et 37 il peut avoir 19 ou 95, donc ne sait pas.
Benjamin voit 95 et 57 il peut avoir 38 ou 152, donc ne sait pas.
Cunégonde voit 95 et 38 il peut avoir 57 ou 133, donc ne sait pas.
2ème tour
Alice sait maintenant que les autres ne pouvaient pas répondre.
Elle reprend son raisonnement et sait qu’elle ne peut avoir que 19 ou 95.
Alice se dit :
Si j’ai 19, alors Cunégonde verrait Alice=19 et Benjamin=38, elle pourrait avoir 19 ou 57.
Cunégonde se dit alors que si elle a 19,
alors Benjamin voyant 19 et 19 saurait automatiquement qu’il a 38 puisqu’il ne peut pas avoir 18-18=0 (chaque entier est strictement positif). Benjamin saurait, impossible Cunégonde ne peut avoir 19 mais 57. Cunégonde saurait qu’elle a 57. C’est IMPOSSIBLE .
Donc l’hypothèse initiale d’Alice avec 19 conduit à une contradiction.
Alice peut donc affirmer de façon certaine qu’elle a 95.
--- Vérification
1er tour identique 2ème tour
Benjamin voit 95 et 57, ne peut pas choisir entre 38 et 152 Cunégonde voit 95 et 38, ne peut pas choisir entre 57 et 133
On peut généraliser ce problème avec 5x, 2x et 3x.
L’essentiel étant que l’une des différences soit égale à l’un des termes : 5x-2x=3x Cela provoque la connaissance d’une solution car les entiers sont strictement positifs.
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Tous les autres cas, provoqueront l’indécision et ne donnent aucune solution.
