E345 – L’énigme d’Andy [**** à la main]
Zig a rendu visite à Alice (A), Benjamin (B) et Cunégonde (C), les trois spécialistes du calcul des décimales du nombre π (voir D1846). Il a inscrit sur le front de chacun d’eux un entier positif en leur signalant que l’un des trois entiers est la somme des deux autres.
Le dialogue suivant s’établit entre les trois amis : Alice : Je ne connais pas mon nombre.
Benjamin : Je ne connais pas mon nombre.
Cunégonde : Je ne connais pas mon nombre.
Alice : Je connais mon nombre qui est 95 Déterminez les deux autres nombres.
Source : Andy Liu – Maths Horizons 2004
Solution proposée par Daniel Collignon
Notons (a, b, c) les nombres >0 inscrits sur le front de A, B et C.
Si A voyait (?, x, x), alors A pourrait déduire (2x, x, x).
De même si B voyait (x, ?, x), alors B pourrait déduire (x, 2x, x)
Si B voyait (2x, ?, x), alors B pourrait déduire (2x, 3x, x), puisque (2x, x, x) aurait déjà été identifié par A.
De même si C voyait (x, x, ?), (2x, x, ?) ou (x, 2x, ?), alors C pourrait déduire (x, x, 2x), (2x, x, 3x) ou (x, 2x, 3x).
Si C voyait (2x, 3x, ?), alors C pourrait déduire (2x, 3x, 5x), puisque (2x, 3x, x) aurait déjà été identifié par B.
Si A voit (?, 2x, x), alors il en déduit (3x, 2x, x) puisque (x, 2x, x) aurait déjà été identifié par B : mais 95 n'est pas un multiple de 3.
Si A voit (?, 2x, 3x), alors il en déduit (5x, 2x, 3x) puisque (x, 2x, 3x) aurait déjà été identifié par C : cela fonctionne avec x=19.
Si A voit (?, 3x, 5x), alors il en déduit (8x, 3x, 5x) puisque (2x, 3x, 5x) aurait déjà été identifié par C : mais 95 n'est pas un multiple de 8.
Si A voit (?, x, 3x), alors il en déduit (4x, x, 3x) puisque (2x, x, 3x) aurait été identifié par C : mais 95 n'est pas un multiple de 4.
Si A voit (?, 3x, x), alors il en déduit (4x, 3x, x) puisque (2x, 3x, x) aurait été identifié par B : mais 95 n'est pas un multiple de 4.
Si A voit (?, x, 2x), alors il en déduit (3x, x, 2x) puisque (x, x, 2x) aurait été identifié par C : mais 95 n'est pas un multiple de 3.
Conclusion : (a, b, c) = (95, 38, 57).
