1 E345-L'énigme d'Andy
Zig a rendu visite à Alice (A), Benjamin (B) et Cunégonde (C), les trois spécialistes du calcul des décimales du nombre π (voir D1846).
Il a inscrit sur le front de chacun d’eux un entier positif en leur signalant que l’un des trois entiers est la somme des deux autres.
Le dialogue suivant s’établit entre les trois amis : Alice : Je ne connais pas mon nombre.
Benjamin : Je ne connais pas mon nombre.
Cunégonde : Je ne connais pas mon nombre.
Alice : Je connais mon nombre qui est 95 Déterminez les deux autres nombres.
Solution proposée par Raymond Bloch.
Soit a,b,c les nombres resp. de A,B et C, et (a,b,c) le triplet tel que :
A sait répondre avec l'entier a quand elle voit b et c sur les fronts de B et de C, B sait répondre avec l'entier b quand il voit a et c sur les fronts de A et de C, C sait répondre avec l'entier c quand elle voit a et b sur les fronts de A et de B.
Si A voit les nombres b et c, il sait que a=b+c ou |b-c|, et de même pour B et C.
1ère étape : A dit "je ne sais pas répondre". Conséquence : comme tous les entiers sont > 0, A ne voit pas deux entiers identiques sur les fronts de B et de C. En effet si (*,x,x), a ne peut pas être x-x=0, donc a=x+x=2x.
Conclusion A saurait répondre 2x si (*,x,x). Négatif dans tous les autres cas. Le triplet qui caractérise la réponse positive de A est donc (2x,x,x).
2ème étape : B dit "je ne sais pas répondre". On regarde dans quelles conditions il connaît son nombre.
1er cas: comme pour A, s'il voit le même x sur les fronts de A et de C, à savoir (x,*,x)
2ème cas : il voit 2x sur le front de A et x sur le front de C, soit (2x,*,x). Donc a= 2x + x = 3x ou 2x - x = x. Or il ne peut pas avoir x car dans ce cas A aurait trouvé son nombre à l'étape précédente en voyant (*,x,x). Donc B sait répondre avec les triplets de la forme (x,2x,x) et (2x,3x,x). A contrario, si B ne sait pas répondre, ces deux triplets sont à exclure.
3ème étape : C dit « je ne sais pas répondre ». 1er cas : comme pour A et B, si C voit (x,x,*), C sait son nombre, c=2x. 2ème cas : C voit (2x,x,*) ou (x,2x,*). Il ne peut pas avoir c=2x-x=x car A ou B aurait vu deux x, et aurait conclu.
3ème cas : C voit (2x,3x,*), et son nombre ne peut pas être a=3x-2x=x, sinon B aurait vu (2x,*,x) et aurait su que son nombre ne pouvait pas être b=x , car alors A aurait vu deux (*,x,x) et conclu à son tour de parole.
C sait donc répondre avec les triplets (x,x,2x), (2x,x,3x),(x,2x,3x) et (2x,3x,5x). Comme C ne sait pas son nombre, C n’a aucun de ces triplets.
4ème étape : A dit : « je connais mon nombre, a=95 ». Il y a 4 cas :
1er cas : A voit (*,x,3x). A n’a pas a=3x-x=2x, sinon C, voyant (2x,x,*) aurait reconnu son nombre, qui ne pouvait pas être c=x, sinon A aurait conclu en voyant (*,x,x). Donc a= 3x+x= 4x=95, contradiction car 95 n’est pas divisible par 4.
2ème cas : A voit (*,2x,x), et ne peut pas avoir a=2x-x=x, sinon B aurait vu (x,*,x) et conclu, donc
a= 2x+x=3x=95, contradiction puisque 95 n’est pas divisible par 3. 3ème cas : A voit (*,3x,5x), et sait qu’il n’a pas a=5x-3x=2x, car alors C aurait vu (2x,x,*) et aurait conclu que son nombre était c=x+2x=3x, car si son nombre avait été c=2x-x=x, , A aurait vu (*x,x) et conclu. Donc a=8x=95, contradiction car 95 n’est pas multiple de 8.
4ème cas : A voit (*,2x,3x) et sait qu’il ne peut pas avoir a=3x-2x=x, sinon C aurait vu (x,2x,*), et B aurait vu (x,*,x) et aurait conclu. Donc le nombre de A est a=3x+2x=5x=95, d’où x=19 et
les nombres détenus par A, B et C sont a=95, b=38, c=57, les valeurs de b et c étant permutables.
Cette solution est unique puisque les trois autres cas conduisent à des contradictions.
