E567– Une suite à 25 temps [*** à la main]
Chacun des entiers de 1 à 25 est inscrit dans une des 25 cases du tableau suivant :
a₁ a₂ a₃ a₄ … … … … ai … … … a₂₃ a₂₄ a₂₅
Pour chaque groupe de trois cases consécutives, on calcule la somme des trois nombres contenus dans les trois cases et on obtient 23 sommes Sj pour j = 1 à 23. Soit S la plus grande de ces sommes.
Q₁ . On place les entiers dans les 25 cases de façon à obtenir la plus petite valeur possible de S = Smin . Prouver que les nombres a₁,a₄,a₇,...a3k+1,..a₂₅ sont alors tous supérieurs ou égaux à un nombre m que l’on déterminera.
Q₂ Déterminer Smin et donner une séquence possible des ai.
Q₃ Pour les plus courageux : avec les n > 3 premiers entiers naturels inscrits dans n cases, existe-t-il une formule générale qui exprime Smin en fonction de n?
Source : d’après l’exercice n°3 proposé aux Olympiades académiques 2014 de Versailles.
Solution proposée par Daniel Collignon Q₁
En sommant 8 blocs disjoints de 3 cases, on compte tous les nombres sauf un des a3i+1 avec i=0..8.
D'où 1+...+25-a3i+1 =< 8S.
Comme il y a 9 valeurs a3i+1, on peut en choisir une comprise entre 9 et 17.
D'où 17 >= 325 - 8S et donc S >= 39.
Supposons que Smin = 39, alors a3i+1 >= 13 = m.
Q₂
Exemple prouvant que Smin = 39
25 13 1 24 10 2 23 12 3 22 8 9 21 7 11 20 5 14 19 4 16 17 6 15 18 Q₃
Adaptons le même raisonnement de Q₁ en fonction de n n = 3k
1+...+n =< kS S >= 3(3k+1)/2 k=2j+1 => S >= 9j+6 k=2j => S >= 9j+2 n = 3k+1
1+...+n-a3i+1=< kS n-k >= n(n+1)/2 - kS S >= 3(3k+1)/2+1 k=2j+1 => S >= 9j+7 k=2j => S >= 9j+3
n = 3k+2
1+...+n-a3i+2=< kS 1+...+n+a3i=< (k+1)S k =< (k+1)S - n(n+1)/2 S >= 3(3k+2)/2 + 1 - 1/(k+1)
k=2j+1 => S >= 9j+9 (sauf le cas j=0 où S >= 8) k=2j => S >= 9j+4
S >= 3(3k+2)/2-2-1/(k+1) 3(3k+2)/2-2-1/(k+1) =< S (k+1)S >= n(n-1)/2 + (k+1) S >= 3(3k+1)/2+1
k=2j+1 => S >= 9j+7 k=2j => S >= 9j+3 Récapitulation : n Smin >=
6j 9j+2 6j+1 9j+3 6j+2 9j+4 6j+3 9j+6 6j+4 9j+7
6j+5 9j+9 (8 pour j=0)
Grosso modo Smin est égal à partie entière de 3(n+1)/2 sauf lorsque n est un multiple de 6 auquel cas il faut ajouter arrondir au-dessus.
A l'aide d'un programme Python balayant les permutations, voici les premières valeurs confirmées
n : Smin(n)
4 : 7 5 : 8 6 : 11 7 : 12 8 : 13 9 : 15 10 : 16 11 : 18 12 : 20 13 : 21
Pour confirmer cette conjecture, il faudrait exhiber un motif générique pour chacun des 6 cas ANNEXE : programme Python
from itertools import permutations n=9
smin=3*n
for perm in permutations(list(range(1,n+1))):
if perm[0]>perm[1]:
smax=0
for i in range(n-2):
s = perm[i]+perm[i+1]+perm[i+2]
if s>smax:
smax=s if smax<smin:
smin=smax
# print(smin) print(smin)
