PROPOSITION Th Eveilleau

A384. Les égalisateurs ****

Soient deux entiers p et q distincts strictement positifs. L’entier n > 0 est un égalisateur de p et de q si les deux entiers obtenus en multipliant p et q par n, p*n et q*n, ont le même nombre de diviseurs.

Q1 Dans quel(s) cas sait-on trouver un égalisateur de :

1er cas: p = 20 et q = 81, 2ème cas : p = 1610 et q = 2019, 3ème cas : p = 1961 et q = 84323 ?[**]

Q2Pour les plus courageux : combien y a-t-il d’entiers k positifs strictement inférieurs à 10000 tels qu’on ne sait pas trouver un égalisateur n > 0 de k et de 2019 ? Justifiez votre réponse [****].

PROPOSITION Th Eveilleau Q1

Le nombre de diviseurs d’un entier, que l’on a décomposé en facteurs premiers, est le produit du nombre de diviseurs de ses facteurs s’ils sont premiers entre eux.

OU

Si m = p1e1*p2e2... pkek alors il a (e1+e2+... ek) diviseurs.

1^er cas

20 est un égalisateur de 20 et 81.

20 = 2² * 5 => 6 diviseurs 81 = 3⁴ => 5 diviseurs.

20*24 = 480 = 2⁵ * 3 * 5  (5+1)*(1+1)*(1+1) = 24 diviseurs.

81*24 = 1944 = 2³ * 3⁵  (3+1)*(5+1) = 24 diviseurs.

2^ème cas

1610 = 2 * 5 * 7 * 23 2019 = 3 * 673

16100 est un égalisateur de 1610 et 2019 En effet

1610*16100 = 25 921 000 = 2³ * 5³ * 7² * 23²  4*4*3*3 = 144 diviseurs.

2019*16100 = 32505900 = 2² * 3 * 5² * 7 * 23 * 673  3*2*3*2*2*2 = 144 diviseurs.

3^ème cas IMPOSSIBLE

1961 = 37 * 53 => 2*2= 4 diviseurs.

84323 = 37 * 43 * 53 => 2*2*2 = 8 diviseurs

Notons que les facteurs 37, 43 et 53 sont premiers entre eux deux à deux.

43 est premier.

43 = 1*43 a 2 diviseurs.

Soit m un entier premier différent de 37 de 53 et de 43.

m a 2 diviseurs.

Soit k le nombre de diviseurs de 37*53 (de façon générale, le nombre de diviseurs de celui des deux entiers qui divise l’autre.

Soit d le nombre de diviseurs de m

1961*m et 84323*m auront respectivement k* d et k*d *2 diviseurs.

Avec k et d non nuls, on a toujours k* d k*d *2

Il est donc IMPOSSIBLE de trouver un égalisateur pour ces deux nombres en utilisant un n dont la décomposition en facteurs premiers ne contient ni 37 ni 53 ni 43.

Q2

2019 = 3 * 673

Ce sont les couples (p, q) tels que p q et l’un des deux entiers est multiple de l’autre.

Autrement, on peut toujours ‘construire’ un multiple commun des exposants incrémentés de 1.

Les couples (2019, k*2019) avec k 2. Ce sont (2019, 4038) ; (2019, 6057) ; (2019 ; 8076) Et les trois couples (1,2019) ; (3,2019) ; (673,2019)

Il y a 6 couples

--- Un exemple de construction avec 420 et 2019 :

420 = 2² * 3 * 5 * 7  420 * 2⁹ * 5³ * 7² = 2¹¹ * 3 * 5⁴ * 7³  12 * 2 * 5 * 4 = 480 diviseurs.

2019 = 3 * 673  3 * 673 * 2⁹ * 5³ * 7² = 3 * 2⁹ * 5³ * 7² * 673  2 * 10 * 4 * 3 * 2 = 480 diviseurs.

--- m = a^p et

n = b^q avec a et b premiers entre eux.

Supposons p>q

Il s’agit de trouver r^z tel que m*r et n*r aient le même nombre de diviseurs.

Cherchons k, donc a^k tel que

m* a^k = a^p * a^k ait (p+k+1) diviseurs.

n* a^k = b^q * a^k aura (q+1) (k+1) diviseurs.

On doit avoir p + k +1 = qk+k+q+1  p = q(k+1)  k = (p-q)/q

En pratique, on multiplie les deux nombres par des puissances des facteurs de l’un des deux nombres jusqu’à obtenir un multiple commun des exposants des facteurs.

Plus généralement si m = a^p b^q c^r n = d^s

On muliplie par m = a^t * b^u * c^v de façon à obtenir (p+t+1)(q+u+1)(r+v+1) = (s+1)(t+1)(u+1)(v+1)

Trouve-t-on toujours une solution ?

.

^{lemme :}

si p et s sont les exposants d'un facteur premier "a" commun à m et n (avec p > s) , alors il existe un entier x tel que la fraction

est égale à une fraction de la forme .

Démo

⁼



x = y (p-s) - ( s +1)

En prenant y entier assez grand tel que y(p-s) > s+1, on peut toujours trouver x entier.

Explicitons le procédé sur un exemple : m = 2¹ * 3³ * 11⁴ et

n = 2

³

* 3

¹

* 5

^²

* 7

⁶

m ne divise pas n et n ne divise pas non plus m.

On recherche p tel que p*m et p*n aient le même nombre de diviseurs.

 p sera de la forme :

2

^a

* 3

^b

* 5

^c.

* 7

^d

* 11

^e

Pour le cas, où des facteurs premiers ont les mêmes exposants dans chacun des nombres, on ne les prend pas en compte puisqu’ils donnent le même nombre de diviseurs dans les deux nombres.

Il suffit alors de ‘simplifier‘ chacun des deux nombres par ces facteurs (comme on simplifie une fraction).

p*m = 2

^a+1

* 3

^b+3

* 5

^c

* 7

^d

* 11

^e+4 et

p*n = 2

^a+3

* 3

^b+1

* 5

^c+2

* 7

^d+6

* 11

^e

Les nombres de diviseurs de m et n étant égaux, nous devons avoir :

(a+2) (b+4) (c+1) (d+1) (e+5) = (a+4) (b+2) (c+3) (d+7) (e+1)

On transforme en regroupant les exposants communs, de façon à garder des produits de fractions supérieures à l’unité :

^*

⁼

^*

^*

On retient la fraction dont la différence entre le numérateur et le dénominateur est la plus grande : avec 7 - 1 > 5 - 1 > 4- 2 > 3 – 1

Grâce au lemme précédent, nous pouvons écrire en remarquant que le membre de droite contient

3

fractions 

=

:

=

^ d = 18 u -1 De même :

=

^ c = 8 u -1 Puis

=

^ a = 6 u + 2

Avec k fractions, nous aurions :

=

;

⁼

le membre de gauche

^*

contient fractions, on procède de la même manière :

=

^ e = 8 u -1

=

^{ b = 4 u}

En reprenant ces résultats, nous vérifions :

*

*

=

^*

^*

⁼

^*

⁼

*

=

On obtient :

=

ceci est vrai quel que soit u.

Dans les relations précédentes, il suffit de choisir u=1, pour obtenir une solution.

Nous obtenons ainsi : d = 18 u -1  d= 17 ; c = 8 u -1  c =7 ; a = 6 u + 2  a= 8 ;

e = 8 u -1  e=7 et enfin : b = 4 u  b=4.

Donc l’exemple donne p =

2

⁸

* 3

⁴

* 5

⁷

* 7

¹⁷

* 11

⁷

p*m = 2

⁹

* 3

⁷

* 5

⁷

* 7

¹⁷

* 11

¹¹ et

p*n = 2

¹¹

* 3

⁵

* 5

⁹

* 7

²³

* 11

⁷ On vérifie qu’on a bien :

(9+1) (7+1) (7+1) (17+1) (11+1) = (11+1) (5+1) (9+1) (23+1) (7+1) = 138 240