E6914. Le jardinier et ses rosiers ****
Zig vient de planter un vaste massif de rosiers. Pour favoriser leur croissance, il s’apprête à leur apporter de l’engrais liquide(1).
Cas n°1** : il dispose de 8 bouteilles d’engrais et le fournisseur vient de l’informer peu de temps après son achat que deux d’entre elles sont mal dosées et qu’une seule goutte suffit à griller les feuilles des rosiers en 24 heures. Pour déceler les bouteilles défectueuses Zig décide de faire des tests avec un maximum de 4 rosiers qu’il a identifiés et qu’il est prêt à sacrifier. Peut-il en 48 heures identifier les deux bouteilles mal dosées ?
Cas n°2**** : même question que supra avec 12 bouteilles d’engrais dont deux mal dosées, toujours les tests réalisés sur 4 rosiers au maximum et un laps de temps de 3 jours pour identifier ces deux bouteilles.
PROPOSITION Thérèse Eveilleau
Cas n°1
Nommons b1, b2,b3..., b10 les bouteilles d’engrais.
Nommons r1, r2, r3 et r4 les quatre rosiers.:
Il prend 4 bouteilles et traite les rosiers : il ne met qu’une seule goutte sur chaque rosier...
B1 sur R1 B2 sur R2,
B3 sur R3 et enfin B4 sur R4.
1er jour
-
si deux rosiers Ri et Rj sont grillés, alors ce sont les bouteilles Bi et Bj qui sont mal dosées. C’est terminé.On a déterminé les deux bouteilles mal dosées.
-
si un seul rosier Rk est grillé, alors la bouteille Bk est mal dosée, les trois autres utilisées sont OK.On recommence le
2ème jour , avec trois des bouteilles restantes, B5, B6, B7 sur les trois rosiers encore sains : -si aucun n’est grillé le lendemain , c’est la bouteille B8 qui est mal dosée. Terminé -si un rosier est grillé avec la bouteille d’indice p, alors Bp est mal dosée. Terminé On a déterminé les deux bouteilles mal dosées.
-
si aucun n’est grillé, alors les bouteilles B1, B2,B3 et B4 sont OK On recommence le2ème jour , avec avec les quatre bouteilles restantes, B5, B6, B7, B8 sur les quatre rosiers qui sont encore sains
- 2 des rosiers seront forcément grillés. Les bouteilles correspondantes sont mal dosées. Terminé On a déterminé les deux bouteilles mal dosées.
Et on n’a perdu que deux rosiers.
Cas n°2
On adopte le même système en numérotant les bouteilles de B1 à B12.
Idem pour les rosiers de R1 à R4
On sépare les 12 bouteilles en 3 lots de 4 bouteilles et on opère comme ci-dessus.
1er jour
A) si deux rosiers Ri et Rj sont grillés, alors ce sont les bouteilles Bi et Bj qui sont mal dosées. C’est terminé.
On a déterminé les deux bouteilles mal dosées.
B) si un seul rosier Rk est grillé, alors la bouteille Bk est mal dosée, les trois autres utilisées sont OK.
On recommence le
2ème jour avec les bouteilles B5, B6, B7 sur les 3 rosiers encore sains.
- si un rosier est grillé alors c’est fini on a déterminé les deux mauvaises bouteilles.
- si aucun rosier n’est grillé alors il nous reste 5 bouteilles, B8, B9, B10, B11 ,B12 dans lesquelles une seule est mauvaise.
Mais nous n’avons plus que 3 rosiers sains.que nous nommerons RR1, RR2, RR3 Je verse B8 sur RR1 ; B9 sur RR2 et B10 sur RR3
Si un rosier est grillé, on a déterminé la 2ème bouteille mal dosée.
SINON il ya un hic, c’est l’une des bouteilles B11 ou B12 qui est mauvaise.... MAIS laquelle ? C) si aucun rosier n’est grillé, alors les quatre premières bouteilles sont ok.
Et nous sommes ramenés au cas n°1, pour résoudre le problème ave c8 bouteilles, 48 heures et 4 rosiers.
Le seul cas problématique est celui mentionné en rouge ci-dessus : 5 bouteilles et trois rosiers en deux jours...
Je vais donc procéder autrement pour le cas B) dès le 2ème jour pour ce cas B) problématique.
Restent donc les bouteilles B5, B6, B7,..., B12 dans les quelles une seule est mauvaise.
Je suppose que les trois rosiers sains restants sont RR1, RR2 et RR3.
Les autres cas se résoudront de la même façon.
Sur RR1, je verse une goutte de la bouteille B5 et une goutte de la bouteille B6.
Sur RR2, je verse une goutte de la bouteille B7 et une goutte de la bouteille B8.
Sur RR3, je verse une goutte de la bouteille B9 et une goutte de la bouteille B10.
Si UN rosier est grillé
-Si le rosier RR2 est grillé, alors la mauvaise bouteille est soit B7 soit B8.
Je saurai alors le 3ème jour avec les deux rosiers restants RR1 et RR3, quelle est mauvaise bouteille.
. il suffit de verser une goutte de la bouteille B7 sur RR1 et une goutte de B8 sur RR3.
. le rosier mort indiquera la mauvaise bouteille. Et le problème sera résolu.
-Même raisonnement si c’est un autre rosier RR1 ou RR3 qui est grillé.
Problème résolu dans ce cas et j’ai un rosier sur les quatre qui est sauvé.
Si AUCUN rosier n’est grillé
-Alors la mauvaise bouteille est obligatoirement ou B11 ou B12
Il suffit de verser une goutte de chaque bouteille sur 2 des trois rosiers sains restants et nous déterminerons sans difficulté la mauvaise bouteille à la vue du rosier grillé le troisième jour.
Problème résolu dans ce cas.
Tous les cas ont été analysés et l’on a pu déterminer à chaque fois les deux bouteilles mal dosées.
