A1747. Une racine qui monte au ciel ***
La racine digitale(1) d'un entier naturel est la somme des chiffres itérée de ce nombre (pour la notation usuelle en base 10),obtenue en additionnant tous les chiffres du nombre initial, puis en additionnant les chiffres du résultat, et ainsi de suite jusqu'à l'obtention d’un nombre à un seul chiffre.
Par exemple la racine digitale de 65536 est 7 avec 6+5+5+3+6 = 25 et 2+5 = 7.
On considère la suite an = partie entière par défaut de 10nπ à savoir a1=31,a2=314,a3= 3141,a4=31415, puis la suite bn définie par b1= a1, b2=a1
a
2, etc… sachant que dans chaque échelle d'exposants, on commence les exponentiations par le haut de l'échelle.
Calculer la racine digitale de b1000 000.
PROPOSITION Thérèse Eveilleau
La racine digitale d’un nombre est le reste de ce nombre dans la division par 9.
Ce sont les puissances les plus hautes qui sont calculées en priorité.
2^3^5 = 2^(3^5) ; 4^2^3=4^(2^3)=4^8
On cherche la racine digitale donc le reste modulo 9 de : 31^314^3141^31415^...
Notons la racine digitale de bi : Ri = R(bi) R1 = R(b1) = R(a1) = R(4) R1=4
R2 = R(b2) = R(a1^a2) = R(31^314)=R(4^314) = 7 R2=7
La suite des puissances de 4, modulo 9, est cyclique : 4 , 7, 1, 4, 7 ,4 Conclusion 1
Il suffit de chercher quel est le reste modulo 3, de l’exposant de 4
Si l’exposant est congru à 1 modulo 3, la racine digitale de la puissance de 4, sera 4 ; Si l’exposant est congru à 2 modulo 3, la racine digitale de la puissance de 4, sera 7 ; Si l’exposant est congru à 0 modulo 3, la racine digitale de la puissance de 4, sera 1.
R3 = R(b3) = R(a1^a2^a3) = R(31^314^3141) = R(4^(314^3141)) OR modulo 3, 314^3141 2^3141 314^3141 2 Avec la conclusion 1, nous obtenons R3 = R(4^2) R3=7 ---
R4 = R(b4) = R(a1^a2^a3) = R(31^314^3141^31415) = R(4^(314^3141^31415)) Modulo 3 : 314 2
Conclusion 2
Les puissances paires de 2 donc de 314, donnent un reste de 1 modulo 3.
Les puissances impaires de 2 donc de 314, donnent un reste de 2 modulo 3.
3141^31415 est impair. Donc 314^3141^31415 est congru à 2 modulo 3 ET R(4^(314^3141^31415)) = R(4^2) R4=7
Toutes les puissances P, de 3141 seront impaires.
Il s’ensuit avec la conclusion 2 ci-dessus que 314 ^ P a un reste de 2 modulo 3.
ET
avec la conclusion 1 ci-dessus on déduit que 4^(314^P) a pour reste 7 modulo 9.
Et par conséquent 31^(314^P) a pour reste 7 modulo 9.
Toutes les racines digitales à partir de b2 seront égales à 7 et en particulier La racine digitale de b1000000 est 7.
