A1747. Une racine qui monte au ciel
La racine digitale d’un nombren, définie comme étant la somme de ses chiffres en base 10, réitérée jusqu’à un simple chiffre, peut être aussi définie plus simplement comme étant le même nombren, modulo 9, à une exception près : sinest un multiple de 9 supérieur à 0, alors sa racine digitale vaut 9.
On le démontre en examinant les congruences des puissances de 10, modulo 9 : toutes valent 1, et donc la somme des chiffres d’un nombre en base 10 est égale au nombre lui-même dans Z/9Z. En itérant la somme, on tombe toujours sur le même nombre (dans Z/9Z). Arrivé à un simple chiffre, on a un résultat compris entre 0 et 8.
S’il vaut 0, alors notre nombre est multiple de 9, et sa racine digitale est donc 9 (qui est égal à 0 dans Z/9Z, mais la racine digitale doit être > 0 pourn> 0).
Dans tous les autres cas, on a la racine digitale.
Considérons maintenant313modulo 9 : il vaut 4*4*4=64=1 modulo 9.
⇒ La racine digitale de31𝑛est la même que celle de31𝑚avecm=nmodulo 3
Dans notre cas,nest une puissance de 314 et3142= 1modulo 3, et 314 lui-même vaut 2 modulo 3.
⇒ La racine digitale de31314est la même que celle de avecm=nmodulo 2
𝑛
312
𝑚
Dans notre cas, ce nouveaunest une puissance de 3141, donc forcément impair. On remonte le fil, pour trouver le résultat : 7 (valable peu importe la puissance de 3141, donc peu importe le nombre de termes qu’on considère pour les suitesaetbà partir du second - seul le premier terme debaura une racine digitale de 4)
