A1747 - Une racine qui monte au ciel

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La racine digitale⁽¹⁾ d'un entier naturel est la somme des chiffres itérée de ce nombre (pour la notation usuelle en base 10),obtenue en additionnant tous les chiffres du nombre initial, puis en additionnant les chiffres du résultat, et ainsi de suite jusqu'à l'obtention d’un nombre à un seul chiffre.

Par exemple la racine digitale de 65536 est 7 avec 6 +5 + 5 + 3 + 6 = 25 et 2 + 5 = 7.

On considère la suite an = partie entière par défaut de 10ⁿπ à savoir a₁ = 31, a₂ = 314, a₃ = 3141,

a₄ = 31415,… puis la suite bn définie par b1 = a1, b2 = , etc…

Calculer la racine digitale de b1000000.

(1)Nota : en anglais, « digital root »

La racine digitale n’est autre que le reste de la division par 9...

a

3

=3141 est impair, donc toute puissance de a

3

est impaire.

a

2

=314 est congru à 8 (mod 9), et il en est de même de toute puissance impaire de a

3.

a

1

=31 est congru à 4 (mod 9), et comme 4

⁸

=256

²

est congru à 7 (mod 9), il en sera de même pour toute puissance de a

1

à un exposant congru à 8 (mod 9).

Soit pour i≥3, b

i

A1747 - Une racine qui monte au ciel

La racine digitale n’est autre que le reste de la division par 9...

a

=3141 est impair, donc toute puissance de a

est impaire.

a

=314 est congru à 8 (mod 9), et il en est de même de toute puissance impaire de a

a

=31 est congru à 4 (mod 9), et comme 4

=256

est congru à 7 (mod 9), il en sera de même pour toute puissance de a

à un exposant congru à 8 (mod 9).

Soit pour i≥3, b

=7 (mod 9) ; en particulier pour i=1000000...

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