A1747. Une racine qui monte au ciel
La racine digitale d'un entier naturel est la somme des chiffres itérée de ce nombre (pour la notation usuelle en base 10), obtenue en additionnant tous les chiffres du nombre initial, puis en additionnant les chiffres du résultat, et ainsi de suite jusqu'à l'obtention d’un nombre à un seul chiffre.
Par exemple la racine digitale de 65 536 est 7 car 6+5+5+3+6 = 25 et 2+5 = 7.
On considère la suite (𝑎L)LMN définie par : 𝒂𝒏 = ⌊𝟏𝟎𝒏𝝅⌋ = partie entière de 10L𝜋.
Ainsi : 𝑎Y = 31 ; 𝑎[ = 314 ; 𝑎] = 3 141 ; 𝑎^ = 31 415 ; etc.
On considère ensuite la suite (𝑏L)LMN définie par : 𝒃𝟏= 𝒂𝟏 ; 𝒃𝟐 = 𝒂𝟏𝒂𝟐 ; 𝒃𝟑 = 𝒂𝟏𝒂𝟐𝒂𝟑 ; etc. , sachant que dans chaque échelle d'exposants, on commence les exponentiations par le haut de l'échelle.
Calculer la racine digitale de 𝒃
𝟏 𝟎𝟎𝟎 𝟎𝟎𝟎. Solution proposée par David Draï
On raisonne modulo 9 :
• 𝑏Y = 31 ≡ 4 [9] donc la racine digitale de 𝒃𝟏 est 4.
• On a : 𝟑𝟏𝟎 ≡ 𝟏 [𝟗]
31Y ≡ 𝟒 [𝟗]
31[ ≡ 4[ [9] ≡ 16 [9] ≡ 𝟕 [𝟗]
𝟑𝟏𝟑 = 31[× 31 ≡ 7 × 4 [9] ≡ 28 [9]≡ 𝟏 [𝟗]
On observe une cyclicité modulo 3, c’est-à-dire que : - Si 𝑘 ≡ 0 [3], alors 31m≡ 1 [9] ;
- Si 𝑘 ≡ 1 [3], alors 31m≡ 4 [9] ; - Si 𝒌 ≡ 𝟐 [𝟑], alors 𝟑𝟏𝒌≡ 𝟕 [𝟗]. [A]
Ainsi, comme 𝑏Y NNN NNN est de la forme 31o, la solution du problème est 1, 4 ou 7.
• On a : • 𝑏Y NNN NNN = 31⎝
⎜⎛ ]Y^
stuvuwxv…xu zzz zzz {
|
⎠
⎟⎞
€•••••••••‚•••••••••ƒ
„ .
𝟑𝟏𝟒𝟎≡ 𝟏 [𝟑]
314Y ≡ 2 [3]
𝟑𝟏𝟒𝟐≡ 2[ [3] ≡ 4 [3]≡ 𝟏 [𝟑]
On observe une cyclicité modulo 2, c’est-à-dire que : - Si 𝒑 est impair, alors 𝟑𝟏𝟒𝒑 ≡ 𝟐 [𝟑]. [B]
- Si 𝑝 est pair, alors 314‡ ≡ 1 [3].
• De manière évidente, comme 3141 est impair, 𝟑𝟏𝟒𝟏ˆ𝒂𝟒…𝒂𝟏 𝟎𝟎𝟎 𝟎𝟎𝟎‰ est également impair.
Ainsi, en vertu du résultat [B] précédent, 𝑵 = 𝟑𝟏𝟒
‹𝟑𝟏𝟒𝟏w𝒂𝟒…𝒂𝟏 𝟎𝟎𝟎 𝟎𝟎𝟎 {
€••••••‚••••••ƒŒ
𝐢𝐦𝐩𝐚𝐢𝐫 ≡ 𝟐 [𝟑].
• En vertu du résultat [A] , 𝒃𝟏 𝟎𝟎𝟎 𝟎𝟎𝟎 étant de la forme 𝟑𝟏𝑵, avec 𝑵 ≡ 𝟐 [𝟑], on peut en conclure que :
