A1747. Une racine qui monte au ciel ***
La racine digitale(1)d’un entier naturel est la somme des chiffres itérée de ce nombre (pour la nota- tion usuelle en base 10), obtenue en additionnant tous les chiffres du nombre initial, puis en additionnant les chiffres du résultat, et ainsi de suite jusqu’à l’obtention d’un nombre à un seul chiffre.
Par exemple la racine digitale de 65536 est 7 avec 6+5+5+3+6=25 et 2+5=7.
On considère la suiteanégale à la partie entière par défaut de 10nπà savoira1=31,a2=314,a3=3141, a4=31415,... puis la suitebndéfinie parb1=a1,b2=a1a2,b3=aa
a3 2
1 , etc. sachant que dans chaque échelle d’exposants, on commence les exponentiations par le haut de l’échelle.
Calculer la racine digitale deb1000000.
(1)Nota : en anglais, « digital root »
Solution de Claude Felloneau
La racine digitale deb10000000est égale à 7.
Preuve :
Un nombre entier et la somme de ses chiffres ont le même résidu modulo 9 donc la racine digitale d’un nombre non divisible par 9 est son résidu modulo 9.
Sik>4,bk=aa
n 2
1 oùn=aa
...ak 4
3 .
a1=31 donca1≡4 [9]. Ainsibk est une puissance de 4 modulo 9 donc congru à 1 modulo 3. Il n’est donc pas divisible par 9.
bk≡4an2 [9].
Or 43≡1 [9] eta2≡ −1 [3] donca2n≡(−1)n[3].
nétant impair comme puissance du nombre impaira3,an2 ≡ −1≡2 [3] doncbk≡42≡7 [9].
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