A1747. Une racine qui monte au ceil Solution de Kee-Wai Lau
Désignons la racine digitale et la somme des chiffres d’un entier naturel 𝑛 respectivement par 𝑟(𝑛) et 𝑠(𝑛). Puisque 𝑠(𝑛) ≡ 𝑛 (mod 9), on a
𝑠(𝑠(𝑛)) ≡ 𝑠(𝑛) (mod 9), ⋯ , et par consequent 𝑟(𝑛) ≡ 𝑛 (mod 9). Il est facile de vérifier par induction que 313𝑛−1≡ 7 (mod 9). Puisque 314 ≡ −1 (mod 3), donc 314𝑎 ≡ −1 (mod 3) pour tout entire positif impair 𝑎. Il s’ensuit que 𝑏1000000≡ 7 (mod 9). Ainsi 𝑟(𝑏1000000) ≡ 𝑏1000000≡ 7 (mod 9), et finalement 𝑟(𝑏1000000) = 7.
