Problème n°A1747. Une racine qui monte au ciel

Problème n°A1747. Une racine qui monte au ciel

David Hersant

La racine digitale¹ d’un entier naturel est la somme des chiffres itérée de ce nombre (pour la notation usuelle en base10), obtenue en additionnant tous les chiffres du nombre initial, puis en additionnant les chiffres du résultat, et ainsi de suite jusqu’à l’obtention d’un nombre à un seul chiffre.

Par exemple la racine digitale de65 536est7avec6 + 5 + 5 + 3 + 6 = 25et 2 + 5 = 7.

On considère la suitea_n = partie entière par défaut de10ⁿπ, à savoir : a₁ = 31, a₂ = 314, a₃ = 3 141, a₄ = 31 415... puis la suite b_n définie par b1=a1, b2=a^a₁²,b3=a^a

a3 2

1 etc... sachant que dans chaque échelle d’exposants, on commence les exponentiations par le haut de l’échelle.

Calculer la racine digitale deb_{1 000 000}.

1. Soitrla racine digitale d’un nombre entiern. Nous avonsn≡r mod 9, avec0< r≤9.

La démonstration de cette propriété est très proche de celle utilisée dans la preuve par neuf connue de tous². La seule différence réside dans le choix des bornes (dans le cas de la preuve par neuf, on choisitr tel que 0≤r <9).

2. De même, si r1 est la racine digitale de n1 et r2 celle de n2, la racine digitale du produitn1n2est égale à la racine digitale der1r2.

3. Considérons la suite définie pour tout entiernparun = racine digitale dea1n.

Nous avons : u0= 4,

u₁ = racine digitale deu₀u₀ = 7, u2 = racine digitale deu0u1 = 1, u3 = racine digitale deu0u2 = 4...

un =







4si n≡0 mod 3 7si n≡1 mod 3 1si n≡2 mod 3

1. Nota : en anglais, "digital root"

2. https://fr.wikipedia.org/wiki/Preuve_par_neuf

1

4. Pour calculer la racine digitale deb_{1 000 000}, il suffit donc de déterminer le reste dea^a

..a1 000 000 3

2 dans la division euclidienne par3.

5. Nous avonsa2≡2 mod 3et par conséquent, (a₂)ⁿ≡

1 mod 3si(n≡0 mod 2) 2 mod 3si(n≡1 mod 2) 6. Pour déterminer le reste dea^a..

a1 000 000 3

2 dans la division euclidienne par 3, il suffit donc de déterminer la parité dea^..a1 000 000

3 .

7. Nous avonsa3= 3 141. Ce nombre est pair et ses puissances sont égale- ment paires.

À l’issue de ces étapes, il vient que : La racine digitale deb1 000 000est 7.

2