PROPOSITION Th Eveilleau

A2839. Commutations à la chaîne *****

Deux polynômes P et Q d’une seule variable x sont dits « commutables » si P(Q(x)) = Q(P(x)).

On s’intéresse ci-après aux polynômes commutables Pk(x) dont le coefficient du monôme de degré le plus élevé k est égal à 1, par exemple P1(x) = x et P2(x) = x² – 1.

Q1Démontrer qu’il existe un entier naturel a > 0 et un polynôme P₃(x) de degré 3 tel que P2(x) = x² – a et P3(x) sont commutables.

Q2 Avec la valeur de a ainsi trouvée dans Q1, démontrer que pour tout entier k ≥ 4, il existe un seul polynôme Pk(x) de degré k commutable avec P2(x) = x² – a.

Application numérique : déterminer les coefficients des quatre monômes de degrés les plus élevés de P2021(x).

Q3 Pour les plus courageux : démontrer que dans la suite des polynômes P₁,P₂,P₃ ,…Pk ainsi obtenus, tous les polynômes Pi et Pj pris deux à deux sont commutables, 2 ≤ i ≤ k, 2 ≤ j ≤ k, i ≠ j

PROPOSITION Th Eveilleau Q1

Nous avons:

P2(x) = x² - 2 ET P3(x) = x³ - 3x En effet ,

P3(P2(x)) = (x² - 2)³ – 3(x² - 2) = x⁶ – 6x⁴ +9x

²

P3(P2(x)) = (x³ - 3x)² – 2 = x⁶ – 6x⁴ +9x

²



Prendre a=2 Q2

Soit pk(x) = x^k + bk-1 x^k-1 + ... b1x + b0

Pk(P2(x)) = (x²-1) ^k + bk-1 (x²-1) ^k-1 + ... b1(x²-1) + b0

ET

P2(Pk(x)) = (x^k + bk-1 x^k-1 + ... b1x + b0)² -2 Essayons avec k=4 p4(x) = x⁴ + ex³ + dx² + cx + b Il faut x,

(x²-2)⁴+ e(x²-2) ³ + d(x²-2) ² + c(x²-2) + b = (x⁴+ e*x ³ + d*x ² + c*x + b ) ² - 2 x, x⁸ + x⁶(e-8) + x⁴(d-6e+24) + x²(c-4d+12e-32) + b -2c + 4d - 8e + 16 =

X⁸ + 2e x⁷

+ (

+ (

+ (2b+

+ (

+ ( c² +2bd)x² + 2bcx + b²-2

e=0 ; d=- 4 ; c=0 ; b=2 ; P4(x) = x⁴ - 4 x² + 2

En poursuivant les calculs, nous trouvons les solutions uniques : P5(x) = x⁵ - 5 x³ + 5 x

P6(x) = x⁶ - 6 x⁴ + 9*x² - 2

Le polynôme est unique puisque les relations précédentes nous amènent à résoudre un système ayant autant d’inconnues (les coefficients du polynôme), que d’équations imposant les contraintes sur ces coefficients.

Nous sommes amenés à résoudre un système ayant autant de contraintes, (d’équations) que d’inconnues.

Cette résolution est simplifiée dès lors qu’on note que les monômes ayant des coefficients non nuls, ont automatiquement la même parité que l’indice du polynôme.

La suite des coefficients des monomes de degré k-4 est P3(x)  0

P4(x)  2 P5(x)  5=2+3 P6(x)  9=2+3+4 P7(x)  14=2+3+4+5 P8(x)  20=2+3+4+5+6 .

Pk (x)  2+3+...+(k-2) = (k-2)(k-1)/2 - 1 = k*(k-3)/2 Nous avons donc

P2021 (x)  2021*2018/2 P2021 (x)  2021*1009

P2021

Autres monômes de fort degré

Soit P2021 (x) = x²⁰²¹ + 0*x²⁰²⁰

+

+

(x²- 2)²⁰²¹ + a *(x²-2) ²⁰¹⁹ + b* (x²-2) ²⁰¹⁷ + c* (x²-2) ²⁰¹⁵ +... b = ( x²⁰²¹ + a*x²⁰¹⁹ + b*x²⁰¹⁷ + c*x²⁰¹⁵

+ ... ) ² - 2

Ceci nous mène à

x^2*2021 + 2021*(-2) * x^2*2020 + * (-2)² * x² ^{* 2019}

+ ...

a *x^2*2019+ a* 2019*(-2) * x^2*2018 + a * * (-2)² * x

²

+ ...

=

x

+ x

(

) +

(

) + x

( 2ab+2c ) + x

( 2ac+b² ) + x

( 2bc+... ) +...

Nous obtenons,

pour l’exposant

- 4042 * x

= 2 a * x

DONC 2a = -4042 

P2021 (x) = x²⁰²¹ + 0*x²⁰²⁰

-

+ ...

Q3

Soient P et Q deux polynômes commutables avec P1 obtenus comme précédemment.

x, nous avons : P(P1(x)) = P1 (P(x)) ET Q(P1(x)) = P1 (Q(x))