D1957. Toujours sous le même angle

D1957. Toujours sous le même angle

a, b, c sont la mesure des angles des sommets A, B, C du triangle.

GO et HO Sont les médiatrices de AB et AC et définissent le point O centre du cercle circonscrit.

R est le rayon du cercle circonscrit.

A’, E’, F’, G’, H’ sont les pieds des perpendiculaires abaissées respectivement de A, E, F, G, H sur BC.

Montrons que EF est toujours vu sous le même angle à partir du centre O du cercle circonscrit à ABC et plus précisément que la valeur de cet angle est égal à π - a

Calculons G’E’ = BE’ - BG’

= ½ (BD - BA’) car EE’ médiatrice de BD et G milieu de BA se projette en G’ milieu de BA’.

= ½ A’D Calculons H’F’ = CF’ - CH’

= ½ (CD – CA’) car FF’ médiatrice de CD et H milieu de CA se projette en H’ milieu de CA’.

= ½ A’D Donc G’E’ = H’F’ [1]

Considérons G’E’ projection de GE sur BC, on a la relation G’E’ = GE cos b et de même H’F’ projection de HF sur BC donne la relation H’F’= HF coc c

Donc GE/HF = G’E’/H’F’ . cos c/cos b

qui se simplifie compte tenu de

Dans le cercle circonscrit à ABC, l’angle au centre ̂ = 2 ̂ = 2c

Il en résulte que dans le triangle BOA isocèle en O, ̂ = ½ (π- ̂ ) = Ce qui permet de calculer OG = OA sin( ̂ ) = OA sin( ) = R cos c

En faisant de même pour OH, on obtient OH = R cos b Ce qui donne OG/OH = coc c/cos b

De [2] et [3] on constate que les triangles rectangles OGE et OHF sont semblables et cela dans le rapport cos c/cos b

D’où l’égalité d’angle ̂ = ̂ [4]

On peut maintenant calculer ̂ :

̂ = ̂ + ̂ + ̂ où ̂ et ̂ s’éliminent d’après [4] , soit ̂ = ̂

La somme des angles du quadrilatère AGOH est 2π Compte tenu des 2 angles droits en G et H, ̂ = π – a Donc ̂ = π – a

On a donc bien montré que EF est toujours vu sous le même angle à partir du centre O du cercle circonscrit

à ABC et plus précisément que la valeur de cet angle est égal à π - a