On trace un point D sur le côté BC d’un triangle ABC. Les médiatrices de BD et DC rencontrent les droites AB et AC respectivement en E et F. Démontrer que lorsque D se déplace entre B et C, le segment EF est toujours vu sous le même angle à partir du centre O du cercle circonscrit à ABC.
Soient B’ et C’ les milieux respectifs de AC et AB : la projection de EF sur AB est égale à B’C’, et EC’ cosB=FB’ cosC ; par ailleurs l’angle AOB’ est égal à B et AOC’ à C ; donc OB’=OA cosB et OC’=OA cosC, et OC’ cosB=OB’ cos C. Il en résulte que les triangles rectangles OEC’ et OFB’ sont semblables, donc que EOC’=FOB’, donc que
EOF=C’OB’ : le centre O du cercle circonscrit voit le segment EF sous un angle constant.
Cet angle est égal à π-A, et le quadrilatère OEAF est inscriptible.
