Le cercle inscrit de centre I d’un triangle ABC touche les côtés BC,CA et AB aux points A₁,B₁et C₁ et le cercle exinscrit dans l’angle en A touche BC en A₂. Soit A’ le milieu de BC.
La droite A₂I coupe la hauteur AH du triangle ABC au point M.
La droite A’I coupe la droite AA₁ au point N.
Le point U est le milieu de la médiane AA’.
Le point A se projette en V sur la bissectrice de l’angle en B du triangle ABC.
Peut-on raisonnablement parier que les quatre points M,N,U et V pris dans cet ordre ou dans le désordre forment un quarté gagnant c’est à dire sont sur une même ligne droite ?
Si U est le milieu de AA’ et V la projection de A sur la bissectrice de B : le symétrique de A par rapport à cette bissectrice appartient à BC, donc UV est parallèle à BC.
UV coupe la hauteur AP et AA1 en leurs milieux respectifs, M et N : nous allons montrer que M appartient à A2I, et N à A’I.
Soit P la projection de A, donc de M, sur BC, et Q celle de N. Soient a, b, c les longueurs de BC, CA et AB, S l’aire de ABC, p le demi-périmètre, r le rayon du cercle inscrit et h la hauteur AP. Alors A’ est le milieu de A1A2, et BA2=CA1=p-c.
De plus ah=2S=2pr, donc h=2pr/a.
BA2=(a+b-c)/2, A1A2=c-b, BP=(a2+c2-b2)/2a, A2P=(a2+c2-b2-a2-ab+ac)/2a=(c-b)p/a Donc A2P/MP=2p(c-b)/ah=(c-b)/r=A1A2/IA1 : M appartient à A2I.
N est milieu de AA1 donc NQ=h/2=pr/a et A1Q=A1P/2=(c-b)(p-a)/2a A’A1=A1A2/2=(c-b)/2, A1I=r, A’Q=(c-b)(1+(p-a)/a)/2=(c-b)p/2a, donc A’Q/NQ=(c-b)/2r=A’A1/IA1 : N appartient à A’I.
