D1801. Quartés gagnant (2ème course)
Le cercle inscrit de centre I d’un triangle ABC touche les côtés BC, CA et AB aux points A1,B1et C1 et le cercle exinscrit dans l’angle en A touche BC en A2.Soit A’ le milieu de BC.
La droite A2I coupe la hauteur AH du triangle ABC au point M.
La droite A’I coupe la droite AA1 au point N.
Le point U est le milieu de la médiane AA’.
Le point A se projette en V sur la bissectrice de l’angle en B du triangle ABC.
Peut-on raisonnablement parier que les quatre points M, N, U et V pris dans cet ordre ou dans le désordre forment un quarté gagnant c’est à dire sont sur une même ligne droite ?
Solution de Paul Voyer
Les points M, U, V sont alignés sur l'homothétique (A, 1/2) de BC.
- U milieu de la médiane AA'.
- V car sur la parallèle à BC passant par E, milieu de AB.
- M car le faisceau A2A, A2B, A2I, A2D est harmonique, AFID étant une division harmonique par le faisceau de sommet B.
- N
Avec les notations habituelles, AB+BA2 = AC+CA2 = p = (a+b+c)/2 (longueur des 2 tangentes de A au cercle exinscrit).
A'A2= (b-c)/2
De même, A'A1=(b-c)/2.
Le point E est homothétique de A2 dans l'homothétie de centre A entre les cercles inscrit et exinscrit relatif à A.
I est milieu de A1F et M est milieu de A1A2.
La droite A'I est donc l'homothétique (A1, 1/2) de la droite AA2.
N est donc le milieu de AA1.