D1801 – Quartés gagnants (2

D1801 – Quartés gagnants (2^ème course) [**** à la main]

Le cercle inscrit de centre I d’un triangle ABC touche les côtés BC,CA et AB aux points A₁,B₁et C₁ et le cercle exinscrit dans l’angle en A touche BC en A₂.Soit A’ le milieu de BC.

La droite A₂I coupe la hauteur AH du triangle ABC au point M.

La droite A’I coupe la droite AA₁ au point N.

Le point U est le milieu de la médiane AA’.

Le point A se projette en V sur la bissectrice de l’angle en B du traingle ABC.

Peut-on raisonnablement parier que les quatre points M,N,U et V pris dans cet ordre ou dans le désordre forment un quarté gagnant c’est à dire sont sur une même ligne droite ?

Solution proposée par Bernard Vignes

La figure ci-après fait apparaître que les quatre points M,N,U et V sont sur la droite B’C’

Démonstration

1er point : U

Le point U étant milieu de AA' est sur le segment B'C' qui joint les milieux des côtés AB et AC.

2ème point: M

Lemme n°1

Dans un triangle ABC, le milieu de la hauteur AH, le centre du cercle inscrit et le point de contact sur BC du cercle exinscrit dans l’angle en A sont alignés.

En effet le cercle inscrit et le cercle exinscrit touchant le côté BC sont homothétiques l'un de l'autre dans une homothétie de centre A et de coefficient égal au rapport des rayons des deux cercles.

Soit A'₁ le point diamétralement opposé à A₁ sur le cercle inscrit. Les points A,A'₁ et A₂ sont alignés.

Comme les droites (AH) et (A₁A'₁), perpendiculaires à AB, sont parallèles, la droite AI qui partage le diamètre A₁A'₁ en son milieu I, partage aussi la hauteur AH en son milieu M.

Conclusion: le point M est sur la droite B'C'.

3ème point : N

4ème point : V

Lemme n°2

Dans un triangle ABC les points de contact A₁ et A₂ du cercle inscrit et du cercle exinscrit avec le côté BC sont symétriques par rapport au milieu de ce côté.

Si on désigne par a,b,c les longueurs des côtés BC,CA et AB, on vérifie aisément que :

BA₁ + BA₂ = BC₁ + BA₂ = CA₁ + CA₂ = CB₁ + CA₂ et AB + BA₂ = AC + CA₂.

On en déduit BA₁ = CA₂ = (a ‒ b + c)/2, prouvant que A' est le milieu de A₁A₂.

Conclusion: la droite A'I qui joint les milieux des côtés A₁A₂ et A₁A'₁ est parallèle à la droite A'₁A₂. Elle coupe le segment AA₁ en son milieu N qui se trouve ainsi sur le droite B'C'

Lemme n°3

Dans un triangle ABC la bissectrice BI de l’angle ABC rencontre la droite A₁B₁ en un point V tel que les cinq points A,B₁,V,I,C₁ sont cocycliques.

Les quatre points A,B₁,I,C₁ sont sur le même cercle (γ) de diamètre AI. D'autre part:

AIB = 180° ‒ BAC/2 ‒ABC/2 = 90° + ACB/2 et AB₁A₁ = AB₁V =180° ‒ A₁B₁C = 90° + ACB/2.

D'où AIB = AB₁V.Le point V est sur (γ) et AVI = 90°.

AV est donc perpendiculaire à la bissectrice BI.

C' étant le milieu de l'hypoténuse AB du triangle rectangle ABV, le triangle BVC' est isocèle et BVC' = ABV = BCV.

Les droites VC' et BC sont donc parallèles et la droite VC' est confondue avec la droite B'C'.

Conclusion: V est sur la droite B'C'.