Math´ ematiques - Devoir surveill´ e n

I.U.T d’Aix-Marseille Premier semestre 2019/2020 D´epartement Mesures Physiques

MP1

Math´ ematiques - Devoir surveill´ e n

2

Lundi 13 janvier 2020- Dur´ee de l’´epreuve 1H45.

Note importante : la qualit´e de la r´edaction sera prise en compte. Chaque r´eponse doit ˆetre soigneusement justifi´ee. Le bar`eme est donn´e `a titre indicatif. Rendre le sujet avec la copie.

Question de cours(6 points)

1. Citez le th´or`eme des accroissements finis.

2. Soitf une fonction continue surRet impaire. D´emontrez queRa

−af(t) dt= 0 o`u a∈R. 3. Montrez, que pour toutx∈[−1,1], cos(arcsinx) =√

1−x².

4. Rappeler toutes les propri´et´es (que vous connaissez) de la fonction arctangente puis la repr´esenter graphiquement dans un rep`ere orthonorm´e.

5. Citez le th´eor`eme de d’Alembert. A l’aide d’un exemple, montrez que ce th´eor`eme n’est pas valable dansR[X].

Exercice 1(5 points)

Les questions suivantes sont ind´ependantes 1. Soit la fonction f d´efinie sur I = [−1,0[∪]0,+∞[ parf(x) =

√1 +x−1

x . Montrer que l’on peut prolongerf par continuit´e au pointx= 0. On noterag son prolongement par continuit´e en 0, donnez l’expression deg.

2. Montrez que pour toutx <0, arctan(x) + arctan(1

x) =−π 2. 3.

a) D´ecomposer en polynˆomes irr´eductibles dansC[X] le poynˆomeP(X) =X⁴+ 4.

b) En d´eduire sa d´ecomposition en polynˆomes irr´eductibles dansR[X].

4. Donner, en expliquant soigneusement, l’´ecriture exponentielle deZ₀=−1 + 3j. On exprimera l’argument deZ₀ de deux mani`eres diff´erentes, d’abord en utilisant la fonction arctangente puis la fonction arcsinus.

Exercice 2(5 points) 1. CalculezI₁=

Z 1

0

e^x (1 +e^x)² dx.

2. CalculezI2= Z ^π₂

0

x²sinxdx.

3. CalculezI3= Z ^π₄

0

sin³xdx.

4. CalculezI₄= Z e

1

p1 + ln(x)

x dx.

5. CalculezI₅(x) = Z x

0

e^2t(cost+ sint) dt.

Exercice 3(4 points)

On consid`ere les fonctionsuet f d´efinies paru(x) =

r1−x

1 +x etf(x) = 2arctan(u(x)).

a) D´eterminer, en justifiant soigneusement, le domaine de d´efinition puis de d´erivabilit´e de la fonctionu. Calculer sa d´eriv´ee.

b) D´eterminer, en justifiant soigneusement, le domaine de d´efinition I puis de d´erivabilit´eJ de la fonctionf. Calculer sa d´eriv´ee.

c) En d´eduire que pour toutx∈I,f(x) = arccos(x).