Première S Devoir maison n ° 10. 2007 2008
E1
On considère la suite ( un ) définie par u0 = 6 et pour tout n entier, un+1 = 1 3 un − 2.
1. Calculer u1 , u2 , et u4 .
2. Soit ( vn ) la suite définie par vn = un + 3 pour tout entier naturel.
A ) Calculer v0 , v1 , v2 , et v4 .
B ) Démontrer que la suite ( vn ) est une suite géométrique.
C ) Exprimer vn en fonction de n et en déduire l'expression de un en fonction de n.
D ) Déterminer le sens de variation de la suite ( vn ) puis celui de ( un ).
E ) Démontrer que les suites ( un ) et ( vn ) sont convergentes et déterminer leurs limites.
3. Soit Vn = v0 + v1 + v2 + … + vn et soit Un = u0 + u1 + u2 + … + un. a ) Exprimer Vn en fonction de n.
b ) En déduire Un en fonction de n.
4. Calculer les limites de Vn et de Un. E2
Dans le repère orthonormal direct ( O ; Åi , Åj ), marquer les points A1 ( 1 ; 0 ) et A2 tel que ( ÄOA1 ; ÄOA2 ) = π
6 + 2k π et tel que le triangle OA1 A2 soit un triangle rectangle en A2.
De la même manière, pour tout entier naturel n non nul, à partir du point An , on définit le point An+1 par ( ÄOAn ; ÄOAn+1) = π
6 + 2k π et tel que le triangle O An An+1 soit un triangle rectangle en An+1. 1 ) Représenter sur une figure les points A1, A2, et A3.
2 ) Déterminer les coordonnées polaires de A1, A2, et A3.
3 ) Pour tout entier naturel n non nul on définit la suite ( αn ) par : αn est une mesure de l'angle ( ÄOA1 ; ÄOAn) .
a ) Déterminer a2 et a3.
b ) Donner une relation entre αn et αn+1. En déduire la mesure principale de α15.
