On considère la suite ( ) u

PanaMaths Janvier 2010

On considère la suite ( ) u

n

définie par :

( )

0

, 1

1

k n

n k

n u

=

k

∀ ∈ ^` = ∑ − +

Etudier les suites ( ) ^u

²ⁿ

^et ( ^u

²ⁿ⁺¹

) . En déduire la nature de la suite ( ) u

n

.

Analyse

Un exercice classique permettant d’établir simplement que la série harmonique alternée converge.

Résolution

On a d’abord, pour tout entier naturel n :

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )( )

( )( )

2 2 2 2

2 1

2 1 2 2

2 2 2

0 0

1 1 1 1

1 1 2 1 1 2 2 1

2 3 2 2

1 1

2 2 2 3 2 2 2 3

1 0

2 2 2 3

n n n

n

k k n n

n n

k k

u u u u

k k n n

n n

n n n n

n n

+ +

+ +

+

= =

− = −

− − − −

= − = +

+ + + + + +

− + + +

= − + =

+ + + +

= − <

+ +

∑ ∑

On en tire immédiatement que la suite

( )

u2n est strictement décroissante.

Par ailleurs :

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )( )

( )( )

2 1 2 3 2 1

2 1 1

2 2 2 3

2 3 2 1

0 0

1 1 1 1

1 1 2 2 1 2 3 1

2 4 2 3

1 1

2 3 2 4 2 3 2 4

1 0

2 3 2 4

n n n

n

k k n n

n n

k k

u u u u

k k n n

n n

n n n n

n n

+ + +

+ +

+ +

+ +

= =

− = −

− − − −

= − = +

+ + + + + +

+ − +

= + − =

+ + + +

= >

+ +

∑ ∑

PanaMaths Janvier 2010

On en tire immédiatement que la suite

(

u2n₊1

)

est strictement croissante.

Enfin :

( ) ( )

( ( ) )

2 1 2

2 1 2

0 0

2 1

1 1

1 1

1

2 1 1

1

2 2

k k

n n

n n

k k

n

u u

k k

n

n

+

+ = =

+

− −

− = −

+ +

= −

+ +

= − +

∑ ∑

On a alors :

(

2 1 2

)

lim lim 1 0

2 2

n n

n u u n

+ n

→+∞ →+∞

⎛ − ⎞

− = ⎜⎝ + ⎟⎠= .

Comme les suites

( )

u2n et

(

u2n₊1

)

sont (strictement) monotones, de monotonies inverses, et comme lim

(

2_n1 2_n

)

0

n u ₊ u

→+∞ − = , on en déduit que ces deux suites sont adjacentes. De fait, elles sont convergentes et admettent la même limite qui est également la limite de la suite

( )

un .

Résultat final

La suite

( )

un définie par :

( )

0

, 1

1

n k

n k

n u

= k

∀ ∈ = −

∑

+

` , est convergente.