(1) Montrer que T

Universit´ e de Bordeaux L3 S5, MA5012

Devoir Maison 1, ` a rendre semaine 41

Exercice 1. On d´ efinit T

= {A ⊂ R , A ou son compl´ ementaire est au plus d´ enombrable}.

(1) Montrer que T

est une tribu sur R .

(2) On note T

la tribu engendr´ ee par la famille {{x, x +1, x+2}, x ∈ R } et T

la tribu engendr´ ee par la famille des parties finies de R . Montrer que T

= T

= T

.

(3) Cette tribu coincide-t-elle avec la tribu bor´ elienne ?

Exercice 2. On consid` ere une suite (a

)

avec a

> 0 pour tout n. On pose pour tout x ≥ 0, f

(x) =

n

X

k=1

e

.

(1) Montrer que pour tout n, f

est une fonction Lebesgue int´ egrable sur [0, +∞[.

(2) Montrer que la suite (f

) converge simplement vers une fonction mesurable f (les ensembles de d´ epart et d’arriv´ ee sont munis de leurs tribus bor´ eliennes).

(3) Montrer que f est Lebesgue int´ egrable sur [0, +∞[ si et seulement si P

k≥1 1 ak

< ∞.

Exercice 3. Soit Ω un ensemble muni d’une tribu T et d’une mesure positive non nulle µ. Soit f : Ω→ R une fonction mesurable (pour les tribus T et B( R ). Montrer que pour > 0 donn´ e, il existe A ∈ T tel que µ(A) > 0 et

|f (x) − f (y)| < pour tout x, y ∈ A.

Indication : Consid´ erer les ensembles A

= f

(]f − /2, r + /2[) et montrer que Ω = ∪

A

. Exercice 4. Structure bor´ elienne des points de continuit´ e d’une fonction.

Soit (X, d) un espace m´ etrique et f : X→ R une application quelconque. On note B(x, r) = {y ∈ X|d(x, y) < r} et on d´ efinit l’oscillation de f en x, not´ ee ω(x), par

ω(x) = inf{ω(x, δ) ; δ > 0} avec ω(x, δ) = sup{|f (t) − f (s)| ; s, t ∈ B(x, δ)}.

i. Montrer que f est continue en x si et seulement si ω(x) = 0.

ii. Montrer que pour tout > 0, A = {x ∈ X ; ω(x) < } est un ouvert.

iii. En d´ eduire que l’ensemble des points de continuit´ e de f est un G

(c’est-` a-dire une intersection d´ enombrable d’ouverts). En particulier c’est un bor´ elien.

DM 1, A rendre semaine 41 2014-2015