⎧⎨⎪⎩⎪ dvt dvt dt dt () () n + 1 + = = t − kmv v n + n kmv 1 + 2 = () F 2 t t n () ( v t + = n , + Δ g t n tv g ) ×Δ = F t ( v , t )

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TP d’informatique Méthode d’Euler

But du TP :

Résoudre une équation différentielle avec Python Effectuer une représentation graphique avec Python

Problématique :

On souhaite résoudre numériquement l’équation différentielle régissant la vitesse v d’une particule soumise à un frottement fluide quadratique (chute libre d’un objet non aérodynamique) :

dv t

( )

dt + k

mv²

( )

t ⁼^g^(*)

où g = 9,81 m/s²; m = 2 kg et k = 0,01 USI. On considère de plus v(0) = 0 m/s.

Pour résoudre ce type d’équation, l’informatique utilise une méthode de calcul par propagation, appelée méthode d’Euler.

Rappel de la méthode d’Euler

L’équation différentielle (*) peut se réécrire sous la forme : dv t

( )

dt =− k

mv²

( )

t ⁺^g⁼^F(v,^t)

En partant de la condition initiale, on peut alors construire la fonction v(t) en assimilant la fonction à sa tangente au point n. On passe ainsi du point n au point n+1 par la procédure suivante :

t_n+1=t_n+Δt v_n+1 =v_n+F(v_n,t_n)× Δt

⎧⎨

⎪

où Δt représente l’incrément temporel. Plus Δt sera faible (donc le nombre de point de calcul élevé), plus ⎩⎪

l’approximation sera efficace.

Travail demandé :

1ere étape :

Créer un programme python, y importer la bibliothèque matplotlib et y définir les paramètres de calcul : - Valeur de g, m et k.

- Définir un nombre N de points de calcul (50 pour commencer) et une durée maximale pour le calcul de v (10 secondes pour commencer).

- Faire calculer la valeur de l’incrément Δt.

2^e étape :

- Créer la fonction F(v,t) comme indiquée au début de l’énoncé.

- Créer une fonction euler(F, cond_init) où cond_init est la condition initiale de v, qui réalise le travail suivant :

(2)

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o Déterminer et stocker les valeurs de t dans une liste T par incrémentation successive.

o Déterminer et stocker la valeur de v(t) dans une liste V o Retourner les listes sous forme d’un tuple (T,V) 3^e étape :

- Créer une fonction courbe(x,y) où x et y sont des listes de nombres de taille identique, qui permet de tracer la courbe y en fonction de x. On utilisera pour cela la fonction plot(,). (cf TP précédents) - Utiliser cette fonction pour tracer la représentation graphique de v(t).

- Observer l’évolution du graphique en fonction du nombre de points de calcul utilisé.

4^e étape :

- En réutilisant les méthodes précédentes, écrire une fonction position(v, Ν, Δt, cond_init) script permettant de déterminer la position z(t) de la particule à partir de la liste v en utilisant la méthode des rectangles.

- Représenter le graphique z(t).

5^e étape : Utilisation des fonctions prédéfinies de Python : Ouvrez le programme EDordre1 placé sur le réseau.

- Comme précédemment, y définir les valeurs des différents paramètres et un nombre N de point de calcul.

- Définir une fonction F(v,t) comme dans la partie précédente.

- Définir une liste t de N valeur s’étendant de 0 à tmax.

- Définir la condition initiale v0

- Utiliser la fonction odeint pour résoudre. (se référer à l’aide).

- Observer la forme des solutions. Comment récupérer les différentes valeurs de v(t) ? - Tracer le graphique obtenu.

- Modifier le script précédent pour déterminer la position z(t) et tracer son graphique.