1/3 - Chap.
Cours n°4 – Comparaison de suites V) Limites et comparaison de suites
Propriété n°5 :
1. Si (un) et (vn) sont deux suites telles que, à partir d'un certain rang n1, vnun, et
lim
n→+∞un=+∞, alors …...
2. Si (un) et (vn) sont deux suites telles que, à partir d'un certain rang n1, vnun, et
lim
n→+∞un=−∞, alors …...
Démonstration (exigible) :
Démontrons le 1 : choisissons un nombre réel A, on a lim
n→+∞un=+∞ . Donc il existe
un rang n0 à partir duquel .…..…..…………..……….………….……..………….
De plus, à partir d'un certain rang n1,
...
Donc, choisissons un rang n2 = ...………
Alors …...…
Donc : …...…
Le 2 se démontre de façon équivalente.
Exemple n°8 :
Soit la suite (vn) définie par vn=2n + 1 + sinn. Déterminer lim
n→+∞vn.
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...………….
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2/3 - Chap.
Propriété n°6 : le théorème des « gendarmes » Si (un),(vn) et (wn) sont trois suites telles que, à
partir d'un certain rang n1, unvnwn , et lim
n→+∞un= lim
n→+∞wn=L, alors
…...…..
…...…
....………..
La démonstration utilise le même principe que la démonstration précédente.
Exemple n°9 :
Soit la suite (vn) définie par vn=sinn
n . Déterminer
lim
n→+∞vn.
...
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...
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...
...…
...
...
...
...
...
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...
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...
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...
...…
Propriété n°7 (admise)
Une suite croissante et majorée …...………...
Une suite …... et minorée …...………..
Exemple n°10
Soit la suite (Sn) définie par :
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3/3 - Chap.
Sn =
∑
k=1 k=n 1
k2.
1. Démontrer que (Sn) est croissante.
...
...
...
...
...
2. Démontrer que, pour tout n entier naturel, Sn < 2 – 1n .
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...…..……..….….….….…...….….….…...….….….…....….….…..…...….….….….….…...…..
3. En déduire que (Sn) est convergente.
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