Universit´e Paris Diderot Alg`ebre – Ann´ee 2019-20 M1 math´ematiques
Feuille 4 Modules
1.a. SoitAun anneau commutatif. Soitφ: A→Aune applicationA-lin´eaire (un morphisme deA-modules).
Montrer que pour touta∈A, on aφ(a) =aφ(1), et donc queφest d´etermin´ee parφ(1).
1.b. Donner un exemple de morphisme d’anneauxA→Aqui ne soit pas un morphisme deA-modules.
1.c. Donner un exemple de morphisme deA-modulesA→Aqui ne soit pas un morphisme d’anneaux.
1.d. Soit n un entier ≥ 1. Soit M un A-module. Notons (e1, e2...en) la base canonique de An. Soit φ : An → M une application A-lin´eaire. Montrer qu’elle est d´etermin´ee par le n-uplet (φ(e1), φ(e2)...φ(en)).
Montrer que l’applicationφ7→(φ(e1), φ(e2)...φ(en)) est surjective.
1.e. SoitN unAmodule. Soit (e1, e2...en) une famille deN. Montrer que l’application qui `a l’application A-lin´eaire φ : N → M associe le n-uplet (φ(e1), φ(e2)...φ(en)) est une bijection (resp. injection, resp.
surjection) si (e1, e2...en) une base (resp. famille g´en´eratrice, resp. famille libre) deN. Donner des exemples o`u cette application n’est pas bijective lorsque (e1, e2...en) est libre (resp. g´en´eratrice).
2. SoitAun anneau commutatif. SoitM unA-module. Il est ditsimples’il ne poss`ede pas de sous-module distinct de{0}et M.
2.a. Montrer queAest simple si et seulement siAest l’anneau nul ou est un corps.
2.b. Donner des exemples d’id´eauxI deAqui sont desA-modules simples.
2.c. Montrer que toutA-module simple non nul est isomorphe `a A/I o`u Iest un id´eal maximal deA.
2.d. SoitI un id´eal non-trivial deA. Montrer queA/I n’est pas un module libre.
2.e. Supposons que toutA-module est libre. Montrer queAest un corps ou l’anneau nul.
3. SoitAun anneau commutatif. SoitM unA-module. SoitIun id´eal deA. PosonsM[I] ={m∈M/Im= 0}et notonsIM le sous-module deM engendr´e par{tm/t∈I, m∈M}. SiIest un id´eal principal engendr´e para∈A, on poseM[a] =M[I] etaM =IM.
3.a. Montrer queM[I] etIM sont des sous-A-modules deM.
3.b. SupposonsIprincipal. Soitaun g´en´erateur deI. Montrer queM →M qui `amassocieamest lin´eaire.
Montrer que son noyau estM[I], que son image estIM, puis que le moduleM/M[I] est isomorphe `aIM. 3.c. Supposons de plusM fini. Montrer que les A-modulesM[I] etM/IM sont finis et de mˆeme cardinal.
3.d. SoitN unA-module isomorphe `a M. Montrer queM[I] (resp. IM) est isomorphe `a N[I] (resp. IN).
3.e. En consid´erant le casA=Z,I=pZ, avecppremier,M =Z/p2Zet N= (Z/pZ)2, d´eterminerM[I] et N[I]. En d´eduire queM etN ne sont pas isomorphes.
4.a. Tout sous-module libre d’un module libre admet-il un suppl´ementaire ?
4.b. SiN est un sous-module deM tel queM/N est libre, montrer queN admet un suppl´ementaire.
5. SoitAl’anneau des fonctions continuesR→RetI l’ensemble des ´el´ements deA`a support compact.
5.a. Montrer queI est un id´eal deA(et donc un sous-module).
5.b. Montrer queIn’est pas de type fini comme A-module.
6. SoitK un corps commutatif. PosonsA={P ∈K[X]/P =a0+a2X2+a3X3+...}.
6.a. Montrer queAest un anneau commutatif.
6.b. NotonsI l’id´eal de Aengendr´e par{X2, X3}. Est-il principal ? Est-ce unA-module isomorphe `aA? 6.c. Montrer que l’applicationA2→Iqui `a (P, Q) associeP X2+QX3 est surjective.
6.d. Le noyau de ce morphisme est-il engendr´e par (−X3, X2). Est-ce unA-module isomorphe `aA? 7.a. SoitKun corps. Montrer que l’anneau A=K[(Xi)i∈N] n’est pas noeth´erien.
7.b. Montrer queAest unA-module de type fini non noeth´erien.
8. SoitAun anneau commutatif int`egre. Soitnun entier≥0.
8.a. Montrer queA[X] muni de l’actionA×A[X]→A[X] qui `a (a, P) associe aP est unA-module.
8.b. Montrer que les polynˆomes deA[X] nuls ou de degr´e< nconstituent unA-module libre de rangn.
8.c. SoitP ∈A[X] de degr´en. Montrer que (P) =P A[X] est unA-module. LeAmodule quotientA[X]/(P) est-il libre ? (On pourra consid´ererA=Zet le polynˆome constant ´egal `a 2). Qu’en est-il siP est unitaire ? 9. Soit A un anneau commutatif. Soit M un A-module. Notons EndA(M) l’ensemble des applications lin´eairesA→A.
9.a. Rappeler pourquoi c’est unA-module, un anneau. Est-ce uneA-alg`ebre ?
9.b. Montrer que l’applicationA→EndA(M) donn´ee para7→(m7→am) est un morphisme d’anneaux.
10. SoitAun anneau commutatif int`egre. SoitM unA-module. Soitm∈M. On dit quemest detorsion s’il existea∈A,a6= 0 tel queam= 0. On noteMtorsl’ensemble des ´el´ements de torsion deM. On dit que M est detorsionsiM =Mtors. On dit queM est sans torsionsiMtors={0}.
10.a. Montrer queMtors est un sous-A-module deM.
10.b. Montrer que le module quotientM/Mtors est sans torsion.
10.c. Montrer que siAest infini, toutA-module fini est de torsion.
10.d. SoientM et N deuxA-modules. Soitf : M →N un morphisme surjectif deA-modules. NotonsLle noyau def. Montrer que siLet N sont de torsion, M est de torsion.
10.e. Montrer queQ/Zest unZ-module de torsion. Montrer que l’ensemble des racines de l’unit´e dans C est unZ-module de torsion. L’ensemble des nombres complexes de module 1 est-il unZ-module de torsion ? 10.f. Soientx1,...,xn ∈Q. Montrer qu’il existe y ∈Qtel que y /∈Zx1+...+Zxn. En d´eduire que Q/Z n’est pas de type fini.
11. Soit Aun anneau commutatif. Soient M et N deux A-modules. Posons HomA(M, N) l’ensemble des morphismes deA-modules deM versN. En particulier,M∗= HomA(M, A) s’appelle lemodule dualdeM. 11.a. Rappeler comment HomA(M, N) est muni d’une structure deA-module.
11.b. Montrer que siM est libre de rang n, il en est de mˆeme de HomA(M, A).
11.c. Quel est le dual duZ-moduleZ/2Z?
11.d. Montrer que m7→(φ7→φ(m)) est un morphisme deA-modules M →(M∗)∗. Montrer que c’est un isomorphisme lorsqueM est libre de rang fini. Est-ce un isomorphisme lorsqueA=ZetM =Z/2Z? 11.e. Montrer qu’un morphisme de A-modules f : M → N donne lieu `a un morphisme (dit dual) f∗ : N∗→M∗. Montrer que sif est surjective, f∗ est injective. Sif est injective,f∗ est-elle surjective ? 12. SoitAun anneau commutatif. SoientM etN deuxA-modules. Soitf : M →N un morphisme surjectif deA-modules. NotonsLle noyau def.
12.a. Donner un exemple o`uM et Lsont libres sans queN soit libre.
12.b. Montrer que siLet N sont libres, M est libre. Quel est le rang deM ?
12.c. Donner un exemple o`u M est libre sans queL soit libre. (On pourra penser `a A=M =Z/9Z.) 12.d. Supposons queM =A2 etN =A. Montrer que le noyau def est libre.
12.e. Lorsque M est libre et L est de type fini, on dit que N est de pr´esentation finie. Montrer que tout module de type fini sur un anneau principal est de pr´esentation finie.
12.f. SoitKun corps. Supposons queA=K[(Xi)i∈N]. Consid´erons l’id´ealIdeAengendr´e par{X1, X2, ...}.
Montrer que l’anneau-quotient A/I est isomorphe `a K, ce qui fait deK unA-module. Montrer que K est de type fini commeA-module, mais pas de pr´esentation finie.
13. SoitA un anneau commutatif,M unA-module noeth´erien etuun morphisme surjectifM →M. 13.a. Montrer que la suite des noyaux deun est croissante, pournentier≥1.
13.b. En d´eduire queuest injectif (et donc bijectif).
13.c. SiAn’est pas un corps, existe-t-il toujours une application lin´eaire injective et non surjectiveA→A? 14. SoitA un anneau commutatif. SoitM unA-module de type fini etI un id´eal deA.
14.a. SoitC une matrice carr´ee `a coefficients dansI. Montrer que le d´eterminant de Id +Cest dans 1 +I.
14.b. Supposons que M = IM. Soit (mi)i∈J une famille finie de g´en´erateurs du A-module M. Montrer qu’il existe une matriceB= (bi,j)(i,j)∈J2 avecbi,j ∈I telle que, pour touti∈J, on aitmi =P
j∈Jbi,jmj. Montrer que le d´eterminant de Id−B annuleM.
14.c. Supposons queM =IM, montrer qu’il existea∈I tel que (1 +a)M = 0.
14.d. En d´eduire que, siI est l’unique id´eal maximal deA, et queM =IM, on aM ={0}.
14.e. NotonsRl’intersection de tous les id´eaux maximaux deA. Montrer que siRM =M, on aM ={0}.
14.f. On supposeIde type fini et tel queI2=I. Montrer qu’il existe un g´en´erateuredeItel que e2=e.
15. SoitA un anneau commutatif. Soitf : M →N une application lin´eaire surjective de noyauL. On dit alors qu’on a unesuite exacte courte0→L→M →N →0 deA-modules. On dit qu’elle estscind´eesif admet une section (un inverse `a droiteA-lin´eaire).
15.a. Montrer qu’alorsM est isomorphe `aL×N.
15.b. Montrer que siAest un corps toute suite exacte courte est scind´ee. (On admet l’axiome du choix.) 15.c. Montrer que siAest int`egre et n’est pas un corps, il existe une suite exacte deA-modules non scind´ee.
16. Soit A un anneau. Soient M0, ...Mn des A-modules. Pour i ∈ {1, ..., n}, soit fi : Mi−1 → Mi un morphisme deA-modules. Si Im(fi) = Ker(fi+1) (1≤i < n) et sif1 est injective etfn est surjective, on dit qu’on a unesuite exacteet on ´ecrit (c’est la situation dans laquelle nous nous pla¸cons) :
0→M0→M1....→Mn→0.
16.a. Montrer que si A est un corps et Mi un espace vectoriel de dimension di (0 ≤ i ≤ n), on a Pn
i=0(−1)idi = 0. Montrer qu’il en est de mˆeme si A est principal et si Mi est libre de rang di comme A-module.
16.b. Montrer que siA=ZetMi est un groupe ab´elien fini d’ordreti (0≤i≤n), on aQn
i=0t(−1)i i= 1.
16.c. Supposons que A = Z et Mi = Ti ⊕Ni, avec Ti fini d’ordre ti et Ni libre de rang di, a-t-on Pn
i=0(−1)idi = 0 et Qn
i=0t(−1)i i = 1 ? (On pourra examiner le cas o`u n = 2, M0 = M1 = Z, f1 est la multiplication par 2 etf2est la surjection canoniqueZ→Z/2Z.)
16.d. Montrer que si chacun desMi, sauf peut-ˆetre l’un d’entre eux est noeth´erien, ils sont tous noeth´eriens.
16.e. SoientN0, ...Nn des modules noeth´eriens, montrer que le produitN0×N1×...×Nn est noeth´erien.
17. SoitAun anneau commutatif. Soit un diagramme commutatif deA-modules dont les lignes sont exactes M1 → M2 → M3 → 0
↓u ↓v ↓w
0 → N1 → N2 → N3 .
17.a. Construire une applicationA-lin´eaireδ : Ker(w)→Coker(u).
17.b. Montrer qu’elle se prolonge en une suite exacte longue
Ker(u)→Ker(v)→Ker(w)→Coker(u)→Coker(v)→Coker(w), o`u, en dehors deδ, les morphismes sont obtenus par restrictions des morphismes ci-cessus.
18. SoitK un corps. SoitE unK-espace vectoriel. Soituun endomorphisme deE.
18.a. Rappeler commentufait deE unK[X]-module.
18.b. Montrer que si E est de dimension finie commeK-espace vectoriel, E est de type fini commeK[X]- module. Notons alorsM le polynˆome minimal deu. Montrer queE est un K[X]/(M)-module et que c’est unK[X]-module de torsion.
18.c. PosonsE=K[T]. Lorsqueuest la multiplication parT, montrer queE est unK[X]-module libre.
18.d. PosonsE=K[T]. Lorsqueuest la d´erivation dansK[T], montrer queE n’est pas de type fini comme K[X]-module (montrer que, si c’´etait le cas, il existeraitP1,...Pr∈K[T] tels que tout ´el´ement de K[T] soit combinaisonK-lin´eaire des d´eriv´ees successives deP1,...Pr.) Montrer que tout ´el´ement deE est de torsion.
19. SoitA un anneau commutatif. Soit P unA-module. On dit qu’il est projectifsi et seulement si pour tout morphismef : P →M deA-modules et tout morphisme surjectifg : N →M deA-modules, il existe un morphisme deA-modulesh: P →N tel quef =g◦h.
On dit queP estplatsi le foncteur⊗Pest exact. Autrement dit, si pour toute suite exacte deA-modules 0→N →M →L→0 on a une suite exacte deA-modules 0→N⊗P →M ⊗P →L⊗P →0.
19.a. Montrer qu’il revient au mˆeme de dire queP est projectif et que toute suite exacte courte 0→L→ N →P →0 est scind´ee.
19.b. Montrer que tout module libre est projectif.
19.c. Montrer que P est projectif si et seulement si le foncteur A 7→ Hom(P, A) est exact (i.e. il trans- porte toute suite exacte de A-modules 0 → N → M → L → 0 en une suite exacte 0 → Hom(P, N) → Hom(P, M)→Hom(P, L)→0).
19.d. Montrer que P est projectif si et seulement si il existe un A-module Q tel que L = P ⊕Q est un A-module libre. (On dit que P est unfacteur directdeL.)
19.e. SiA=Z, montrer queP est projectif si et seulement si il est libre.
19.f. Montrer que le moduleZ×0 sur l’anneauZ×Zest projectif sans ˆetre libre.
19.g. Montrer que tout module projectif est plat.
19.h. Montrer que tout module plat est sans torsion.
19.i. Montrer queZ/2Zest unZ-module ni projectif ni (a fortiori) plat.
20. SoitAleZ-module des suites `a valeurs enti`eres qui sont nulles `a partir d’un certain rang (les suitespresque nulles). NotonsA0leZ-module des suites `a valeurs enti`eres. SoitMunZ-module, on noteM∗= Hom(M,Z).
Pournentier≥0, on noteδn la suite dont tous les termes sont nuls, sauf len-`eme terme, qui vaut 1.
20.a. Montrer qu’on a des homomorphismes deZ-modulesφ: A0 →A∗ et ψ : A→A0∗ tous deux donn´es par l’application qui `a (un)n≥0 associe (vn)n≥07→P∞
n=0unvn.
20.b. Montrer queφest injectif (on pourra ´evaluer un ´el´ement deA0 enδn) puis queφest surjectif. A-t-on un isomorphisme similaire, entre leK-espace vectorielB des suites presque nulles `a valeurs dans un corps K et le dual duK-espace vectorielB0 des suites `a valeurs dansK ?
20.c. Montrer queψest injectif.
20.d. Soit f ∈ A0∗. Supposons que f soit nulle sur les suites presque nulles. Soit (un)n≥0 ∈A0. Montrer que pour tout ≥0, il existe xn, yn ∈Ztels queun = 2nxn+ 3nyn. Montrer quef((2nxn)n≥0) = 0 et que f((3nyn)n≥0) = 0. En d´eduire quef est nulle.
20.e. Soit f ∈ A0∗. Soit (kn)n≥0 une suite strictement croissante d’entiers naturels telle que, pour tout entier n ≥ 0, on ait : 2kn+1/2 > Pn
m=02km|f(δm)|. Consid´erons la suite x = (2kn)n≥0. Montrer que f(x) =f(xn)+f(yn) avec (xn)n≥0et (yn)n≥0deux suites d’´el´ements deBv´erifiant|f(xn)|<|f(x)|+2kn+1/2 etf(yn)∈2kn+1Z(poserxn=Pn
m=02kmδm). En d´eduire quef(xn) est nul pournassez grand, puis que la suite (f(δn))n≥0 est presque nulle.
20.f. Montrer queψ est un isomorphisme. Ainsi, on a (A∗)∗'A.
20.g. SiKest un corps fini ou d´enombrable, montrer queBest d´enombrable et queB0 ne l’est pas. Existe-t- il une forme lin´eaire non nulle surB0 qui est nulle surB? A-t-on un isomorphisme deK-espaces vectoriels, similaire `aψ, entreB etB0∗, et donc un isomrophisme entreB et (B∗)∗ ?
20.h. On pourra en particulier s’int´eresser `a situation o`u K est un corps `a deux ´el´ements not´es 0 et 1.
Montrer que B s’identifie `a l’ensembleP0(N) form´e par les sous-ensembles finis de N et B0 `a l’ensemble P(N) des parties deN. On dit que deux ´el´ements deP(N) sontpresque ´egauxs’ils diff`erent par un ensemble fini (en particulier tous les ensembles finis, y compris le vide, sont presque ´egaux). Montrer que la presque
´
egalit´e est une relation d’´equivalence. NotonsP(N)/P0(N) l’ensemble quotient. Montrer qu’il s’identifie `a l’espace vectoriel quotientB0/B. Peut-on exhiber une forme lin´eaire surB0/B?
