Montrer que k[x]/(x−a)(x−b)∼=k[x]/(x−a)×k[x]/(x−b)∼=k2

Universit´e de Versailles - Saint Quentin Ann´ee 2016/2017

L3 Alg`ebre Maria Chlouveraki

Anneaux int`egres et corps, id´eaux premiers et maximaux - TD 4

1. Pour les id´eaux principauxI = (m) etJ = (n) deZ(avecmn6= 0), calculer les id´eauxI∩J, I+J etIJ.

2. Soit kun corps, et soienta, b deux ´el´ements distincts de k. Montrer que k[x]/(x−a)(x−b)∼=k[x]/(x−a)×k[x]/(x−b)∼=k². Par r´ecurrence, si a₁, . . . , a_n sont des ´el´ements distincts dek, alors

k[x]/(x−a1)· · ·(x−an)∼=kⁿ. 3. Montrer queR[x]/(x⁴−1)∼=C×R².

4. Montrer que le produit cart´esien de deux anneaux n’est pas un anneau int`egre. En d´eduire que R<sup>2</sup> avec la structure d’anneau du produit cart´esien n’est pas isomorphe `aC.

5. Montrer queR est un anneau int`egre si et seulement si deg(f g) = deg(f) + deg(g) pour tous f, g∈R[x].

6. Montrer que siR est un anneau int`egre, alorsR[x] est int`egre. SiR est un corps, est-ce que R[x] est un corps ?

7. Montrer que si R est un anneau int`egre fini, alorsR est un corps.

8. SoitR un anneau avec 0_R6= 1_R. L’anneau Rest un corps si et seulement siR a exactement deux id´eaux: {0_R} etR.

9. Soit f : R → S un homomorphisme d’anneaux. Si R est un corps, alors soit f est un monomorphisme, soit f(r) = 0_S pour tout r∈R.

10. Soit pun nombre premier. Montrer qu’il n’existe pas d’id´ealI de Ztel que (p)(I ( Z.

11. Soit f :R → S un homomorphisme d’anneaux. Si S est int`egre, montrer que Kerf est un id´eal premier deR.

12. Vrai ou faux (si vrai, il faut une preuve ; si faux, il faut un contre-exemple) ? (a) L’id´eal (x) est un id´eal premier deQ[x] ;

(b) L’id´eal (x) est un id´eal premier deZ[x] ; (c) L’id´eal (x) est un id´eal maximal deQ[x] ; (d) L’id´eal (x) est un id´eal maximal deZ[x].

13. Vrai ou faux (si vrai, il faut une preuve ; si faux, il faut un contre-exemple) ? (a) L’id´eal (2) est un id´eal premier deZ;

(b) L’id´eal (2) est un id´eal premier deZ[x] ; (c) L’id´eal (2) est un id´eal premier deZ[i] ; (d) L’id´eal (2) est un id´eal maximal deZ;

(e) L’id´eal (2) est un id´eal maximal deZ[x] ; (f) L’id´eal (2) est un id´eal maximal deZ[i].

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