Montrer que lim z→0 z z n’existe pas

Facult´e des Sciences [email protected] D´epartement de Math´ematiques http://lesfari.com El Jadida

Analyse complexe

Exercice 1. Montrer que la fonction cosinus complexe cos : C → C, n’est pas born´ee.

Exercice 2. Montrer que lim

z→0

z

z n’existe pas.

Exercice 3. a) Montrer que La fonction f(z) =u(x, y) +iv(x, y) est holo- morphe dans Ω si et seulement siuetv sont diff´erentiables dans Ω et satisfont aux conditions de Cauchy-Riemann:

∂u

∂x = ∂v

∂y, ∂u

∂y =−∂v

∂x. b) En d´eduire que

f⁰(z) = ∂u

∂x +i∂v

∂x = ∂u

∂x −i∂u

∂y = ∂v

∂y −i∂u

∂y = ∂v

∂y +i∂v

∂x.

Exercice 4. Montrer que les ´equations de Cauchy-Riemann sont ´equivalentes

`a l’´equation: ∂f

∂z = 0.

Exercice 5. Soitf ∈ C¹dans Ω, `a valeurs complexes. Montrer que la fonction f est holomorphe si et seulement si la forme diff´erentielleω=f dz est ferm´ee dans Ω.

Exercice 6. Soit f(z) = u(x, y) + iv(x, y), une fonction complexe d’une variable complexez =x+iy.

a) Montrer que si f(z) est holomorphe dans un domaine Ω, on peut l’y exprimer au moyen dez seul.

b) Comment trouver formellement l’expression deu(x, y) +iv(x, y) au moyen dez seul ?

c) On suppose que u et v soient diff´erentiables. Montrer que si la fonction f(z) s’exprime au moyen de z seul, alors elle est holomorphe.

d) Supposons que la fonction f soit holomorphe et que f⁰(z) 6= 0. Posons g(z) = P(x, y) +iQ(x, y). Montrer que g est holomorphe si et seulement si df∧dg= 0.

Exercice 7. Montrer que la r`egle de l’Hospital reste d’application dans le cas complexe, `a savoir, si f(z₀) = g(z₀) = 0 alors:

z→zlim0

f(z)

g(z) = f⁰(z₀) g⁰(z₀), sig⁰(z₀) est nul et sif etg sont d´erivables en z₀.

Exercice 8. Soitf :C→C, une fonction holomorphe. On posez =x+iyet f(z) =u(x, y) +iv(x, y).Montrer quef est constante s’il existe des nombres r´eels a, b, cnon tous nuls et tels que: au+bv=c.

Exercice 9. Montrer que la fonction f(z) = Re(z), n’est pas holomorphe.

Exercice 10. Calculer R

γz²dz o`uγ est le segment de droite reliant le point z<sub>0</sub> =−i au point z<sub>1</sub> = 2 +i, orient´e de z<sub>0</sub> `a z₁.

Exercice 11. Appliquer la formule de majoration au cas de l’int´egraleR

γ

dz z² o`uγ est un arc de cercle de centre 0, de rayon R et d’angle au centre θ.

Exercice 12. Soient γ : [a, b]→Cun chemin ferm´e et ∆ le compl´ementaire de l’image deγ,c’est-`a-dire ∆ =I<sup>c</sup> o`uI ={z :∃t∈[a, b], z =γ(t)}. Mon- trer que pour tout z ∈∆, on a

1 2πi

Z

γ

dζ

ζ−z =ind_γ(z),

est un entier d´ependant du point z et s’appelle indice de γ par rapport `a z.

Montrer qu’il est ´egal au nombre de tours que fait γ autour de z. Montrer que la fonctionz 7→ind_γ(z) est constante sur toute partie connexe de ∆ et s’annule sur la composante connexe non born´ee de ∆.

Exercice 13. a) Soit f(z) une fonction holomorphe dans un domaine sim- plement connexe Ω⊂C et soit γ un chemin ferm´e contenu dans Ω. Montrer

que Z

γ

f(z)dz = 0.

b) Soitf(z) une fonction holomorphe dans un domaine simplement connexe Ω ⊂ C, sauf en z1, z2, ..., zk et soit γ un chemin ferm´e contenu dans Ω en- tourant tous ces points. Siγ_j (1≤j ≤k) est un chemin ferm´e contenu dans le domaine int´erieur `aγ entourantz_j et n’entourant pas les autresz_l(l 6=j), montrer que

Z

γ

f(z)dz = Xk

j=1

Z

γj

f(z)dz.

c) Que peut-on dire si le domaine Ω n’est pas simplement connexe et siγ est homotope `a z´ero. Mˆeme question siγ a des points doubles.

Exercice 14. Montrer que si f(z) est holomorphe dans Ω, alors f⁰(z) est continue dans Ω.

Exercice 15. a) Soit γ un chemin d’extr´emit´es a et b, et contenu dans Ω.

Montrer que l’int´egraleR

γf(z)dz ne d´epend que des extr´emit´es a etb deγ.

On pose Z

γ

f(z)dz = Z _b

a

f(z)dz.

b) Soit f(z) une fonction holomorphe dans Ω. D’apr`es a), on peut d´efinir dans Ω une fonction uniforme

F(z) = Z _z

z0

f(ζ)dζ, z₀ ∈Ω.

Cette fonction F(z) est d´efinie `a une constante pr`es, d´ependant du choix du pointz₀.Montrer queF(z) est holomorphe dans Ω et on aF⁰(z) =f(z),sur Ω.

Exercice 16. Soit f ∈ C¹ dans Ω, `a valeurs complexes. Montrer que la fonction f admet une primitive dans Ω si et seulement si la forme diff´erentielle ω=f dz est exacte dans Ω.

Exercice 17. Soit f(z) une fonction holomorphe dans un domaine Ω. Soit γ un chemin ferm´e contenu dans Ω et soit ∆ le domaine simplement connexe ayantγ pour fronti`ere. Montrer que

a) Pour toutz ∈∆,on a la formule int´egrale de Cauchy : f(z) = 1

2πi Z

γ

f(ζ) ζ−zdζ.

(γ ´etant parcouru dans le sens positif, c`ad. anti-horlogique).

b) La fonction f est ind´efiniment d´erivable dans ∆ et on a, pour toutz ∈∆, f⁽ⁿ⁾(z) = n!

2πi Z

γ

f(ζ) (ζ−z)ⁿ⁺¹dζ.

Exercice 18. a) Calculer l’int´egrale R

γ

1 +z

z dz, lorsque γ est le p´erim`etre du carr´e de centre 0, dont un sommet est le point (1,1) du plan complexe.

b) Mˆeme question lorsqueγ est la circonf´erence du plan complexe d’´equation:

x² +y² −4x+ 3 = 0.

c) Calculer l’int´egraleR

γ

cos 2πz

(z−1)⁷dz, o`uγ est le cercle |z|= 2.

Exercice 19. Montrer que sif(z) est continue dans un domaine simplement connexe Ω et si R

γf(z)dz = 0, pour tout chemin ferm´e γ de Ω, alors f(z) est holomorphe dans Ω.

Exercice 20. Soit Ω un ouvert de C et f : Ω → C une fonction complexe d’une variable complexe z. Alors la fonction f est analytique dans Ω si et seulement si elle est holomorphe dans Ω.

Exercice 21. Soit D = {z∈C:|z−a| ≤r}, le disque de centre a et de rayon r et soit f une fonction holomorphe surD. Supposons qu’il existe une constanteM telle que:|f(z)| ≤M, ∀z ∈C=∂D. Montrer que

¯¯f⁽ⁿ⁾(a)¯

¯≤ n!M

rⁿ , ∀n ∈N.

Exercice 22. Montrer que sif(z) est une fonction holomorphe et born´ee sur tout C, alors f(z) est une constante. En d´eduire que C est alg´ebriquement clos. Autrement dit, toute ´equation alg´ebrique

a0zⁿ+a1zⁿ⁻¹+· · ·+an−1z+an= 0, a0 6= 0, a au moins une racine dansC.

Exercice 23. Soit f une fonction holomorphe dans un domaine Ω ⊂ C et soit z0 ∈Ω.Montrer que les conditions suivantes sont ´equivalentes:

i)f^(k)(z₀)≡0, ∀k∈N

ii) f ≡0 dans un voisinage V(z₀) de z₀. iii) f ≡0 dans Ω.

Exercice 24. Soient f et g deux fonctions holomorphes dans un domaine Ω ⊂ C. Supposons que f = g dans un voisinage d’un point de Ω. Montrer quef =g sur tout Ω.

Exercice 25. a) Soit Ω un domaine de C et f : Ω → C une fonction holo- morphe non identiquement nulle. Montrer que les z´eros de f sont isol´es.

Autrement dit, l’ensemble des z´eros de f dans Ω est discret.

b)En d´eduire que l’anneau des fonctions holomorphes sur Ω est int`egre.

Exercice 26. Soit f : Ω→Cune fonction continue dans un ouvert Ω de C.

On dit quef poss`ede, dans Ω, la propri´et´e de la moyenne si pour tout disque ferm´e D = {z ∈C:|z−a| ≤r} ⊂ Ω, la valeur de f au point a est ´egale `a la moyenne def sur le cercleC =∂D c’est-`a-dire

f(a) = 1 2π

Z _2π

0

f¡

a+re^iθ¢ dθ.

a) Montrer que toute fonction holomorphe dans un ouvert Ω ⊂ C, poss`ede la propri´et´e de la moyenne.

b) Montrer que sous les conditions du th´eor`eme pr´ec´edent, on a

|f(a)| ≤ max

0≤θ≤2π

¯¯f(a+re^iθ)¯¯.

Exercice 27. Montrer que si le module d’une fonction holomorphe sur un domaine Ω⊂C,atteint son maximum en un point de Ω, alors cette fonction est constante.

Exercice 28. Soit f(z) une fonction holomorphe dans le disque ouvert D(0,1) ={z ∈C:|z|<1} telle que: f(0) = 0,|f(z)| ≤1,∀z ∈D(0,1). a) Montrer que|f(z)| ≤z, ∀z ∈D(0,1).

b) Montrer que si en outre, il existe un z₀ 6= 0 pour lequel |f(z₀)| = |z₀|, alors on a identiquementf(z) =e^iθz, θ ∈R.

Exercice 29. a) Montrer que toute fonction holomorphe est harmonique.

b) En d´eduire que la partie r´eelle et la partie imaginaire d’une fonction holo- morphe sont harmoniques.

c) Montrer que la fonctionLog|z|est harmonique dans C\ {0}.

Exercice 30. Soit u : Ω → R une fonction harmonique dans un ouvert simplement connexe Ω de C. Montrer qu’on peut trouver une fonction har- moniquev : Ω→R telle que:u+iv soit holomorphe sur Ω.

Exercice 31.Soituune fonction harmonique dans le disque ouvertD(0, R), et continue dans le disque ferm´eD(0, R). Montrer que

u(z) = 1 2π

Z _2π

0

u¡

R e^iθ¢ R²− |z|²

|R e^iθ−z|²dθ, ∀z ∈D(0, R), ou, ce qui revient au mˆeme, en posant z =ρe^iα, ρ < R,

u¡ ρe^iα¢

= 1 2π

Z _2π

0

u¡ R e^iθ¢

(R²−ρ²)

R²+ρ²−2Rρcos (θ−α)dθ.

Exercice 32. SoitD(0,1) un disque ouvert de centre 0 et de rayonRet soit u(θ) une fonction 2π-p´eriodique sur le cercle C =∂D(0, R). Montrer qu’il existe une fonction f(z) continue sur le disque ferm´e D(0, R), harmonique sur le disque ouvertD(0, R) et satisfaisant `af¡

R e^iθ¢

=u(θ).Cette fonction est unique et est donn´ee par

f(z) = 1 2π

Z _2π

0

u(θ) R²− |z|²

|R e^iθ−z|²dθ, |z| < R.

Exercice 33. Montrer que sif(z) est holomorphe dans un domaine Ω et si f⁰(z)6= 0 dans Ω, alors f est conforme dans Ω.

Exercice 34. Soit f(z) une fonction holomorphe sur un ouvert connexe Ω deC.

a) Montrer que l’image de Ω par f est ouverte et connexe.

b) Montrer que si en outre f est injective, alors f⁻¹ est holomorphe dans f(Ω) et f⁰(z)6= 0 dans Ω.

c) En d´eduire que si f est une transformation conforme de Ω dans ∆, alors f⁻¹ est une transformation conforme de ∆ dans Ω.

Exercice 35. Montrer que l’image d’un ouvert simplement connexe par une transformation conforme est simplement connexe.

Exercice 36. Montrer que tout ouvert simplement connexe Ω de Ctel que:

Ω6=C est isomorphe au disque ouvert.

Exercice 37. Soit f : ∆ → C une fonction holomorphe dans la couronne ouverte

∆ ={z ∈C:R₁ < |z−z₀| < R₂},

a) Montrer quef peut ˆetre repr´esent´ee dans ∆ de fa¸con unique par une s´erie de la forme

f(z) = X∞

k=−∞

a_k(z−z₀)^k, avec

a_k= 1 2πi

Z

γ

f(ζ)

(ζ−z₀)^k+1dζ, ∀k ∈Z,

o`uγ est un chemin ferm´e entourant z₀ et contenu dans la couronne.

b) Montrer que cette s´erie converge absolument vers f dans ∆ et converge uniform´ement dans toute couronne ferm´ee contenue dans ∆.

Exercice 38. Montrer que si z₀ est un pˆole d’ordre n de la fonction f(z), alors celle-ci s’´ecrit sous la formef(z) = g(z)

(z−z₀)ⁿ, avec g(z) holomorphe au voisinage dez₀ et telle que g(z₀)6= 0.

Exercice 39. D´eterminons les premiers termes du d´eveloppement de Laurent de 1

sinz, au voisinage de z = 0 dans le disque D^∗ de centre 0, priv´e de son centre, et de rayon π.

Exercice 40. Mˆeme question pour 1

(z−1)²(z−4)³, au voisinage dez = 1, dans le disque ouvertD^∗ de centre 1, priv´e de son centre, et de rayon 3.

Exercice 41. Trouver et qualifier les points singuliers de la fonction f(z) = z

(z−1)²(z+i).

Exercice 42. Montrer quez = 0 est un point singulier essentiel de la fonction e

1 z .

Exercice 43. D´evelpper en s´erie de Laurent la fonction e^z+e 1

z , autour de l’origine du plan complexe.

Exercice 44. D´evelpper en s´erie de Laurent la fonctionf(z) =− 2

(z−1) (z+ 1), autour de z= 1, dans les couronnes 0 <|z−1| <2 et 2 < |z−1|.

Exercice 45. a) Montrer que lorsquez₀ est un pˆole d’ordre mdef(z),alors R´es

z0

f(z) = 1

(m−1)! lim

z→z0

d^m−1

dz^m−1 [(z−z₀)^mf(z)]. b) Montrer que lorsquez₀ est un pˆole simple de f(z) = P(z)

Q(z),avecP(z₀)6= 0 etQ(z₀) = 0, alors

Res´

z0

f(z) = P(z0)

Q⁰(z₀) si Q⁰(z0)6= 0.

Exercice 46. Calculer les r´esidus de la fonction f(z) = z

(z−1) (z−2)², en tous les pˆoles `a distance finie.

Exercice 47. Calculer le r´esidu de la fonctionf(z) = cosz. chz

z³sinz. shz,au point z= 0.

Exercice 48. Calculer le r´esidu de la fonction e 1

z au point z = 0.

Exercice 49. Soit Ω ⊂ C un domaine et f : Ω\ {z₁, z_2,..., z_k} → C une fonction holomorphe. Montrer que

Z

γ

f(z)dz = 2πi Xk

j=1

R´es

zj

f(z),

o`uγ est un chemin ferm´e contenu dans Ω `a l’int´erieur duquel sont contenus tous lesz_j.

Exercice 50. Calculer l’int´egrale Z

γ

z

(z−1) (z−2)²dz,

o`uγ est le cercle de centre 0 et de rayon respectivement : 1 2, 3

2 et 3.

Exercice 51. Soit f(z) une fonction m´eromorphe dans un domaine simple- ment connexe Ω. Soit γ un chemin ferm´e contenu dans Ω entourant tous les pˆoles et z´eros def(z) dans Ω. Montrer que

N −P = 1 2πi

Z

γ

f(z)

f⁰(z)dz =ind_{f oγ}(0),

o`uN est le nombre de z´eros etP le nombre de pˆoles dans Ω.(Tous ces points sont compt´es avec leur ordre de multiplicit´e).

Exercice 52. a) Soient f(z) et g(z) deux fonctions m´eromorphes dans un domaine simplement connexe Ω et sur sa fronti`ere γ. Supposons qu’en tout point de γ, on ait |f(z)| > |g(z)|. Montrer que f(z) et f(z) + g(z) ont le mˆeme nombre de z´eros dans Ω.

b) En d´eduire que tout polynˆome de degr´en poss`ede n z´eros.

c) D´eterminer le nombre de z´eros de la fonction z⁸ −4z⁵ +z² −1 dans le disque {z ∈C:|z|<1}

Exercice 53. Soit f(z) une fonction holomorphe dans le disque ouvert {z ∈C:|z|<1} satisfaisant `a f(0) = 0, |f⁰(z)| ≤ M, en tout point de ce disque.

a) Etablir successivement les in´egalit´es:

|f⁰(z)−f⁰(0)| ≤2M|z|, |f(z)−zf⁰(0)| ≤M|z|². b) On suppose d´esormais que : f⁰(0) = 1, M > 1

2. D´eterminer un nombre r´eel % >0 tel que les relations: |z|= _2M¹ , et |Z|< %,entraˆınent

|f(z)−z|<|z−Z|.

c) En d´eduire que pour Z fix´e et|Z|< %l’´equation f(z)−Z = 0,a le mˆeme nombre de racines que l’´equation z−Z = 0, dans le disque |z|< 1

2M. d) D´eterminer un nombre r > 0 tel que la restriction de la fonction f au disque {z ∈C:|z|< r} soit univalente.

Exercice 54. Dans les exercices qui suivent γ₁ (resp.γ₂) d´esignera le demi- cercle de centre 0 et de rayon r (resp.ε).

a) Montrer que si|f(z)| ≤ M

r^k, pour z = re^iθ, o`u k > 1 et M sont des constantes, alors

r→∞lim Z

γ1

f(z)dz = 0.

b) Montrer que si|f(z)| ≤ M

r^k, pour z = re^iθ, o`u k > 0 et M sont des constantes, alors

r→∞lim Z

γ1

f(z)e^imzdz = 0.

c) Montrer que si z = 0 est un pˆole simple de f(z), alors limε→0

Z

γ2

f(z)dz =−πi R´es

0 f(z).

Exercice 55. Calculer les int´egrales suivantes par la m´ethode des r´esidus:

a)R_2π

0

cos 3θ 5−4 cosθdθ.

b)R_2π

0

dx

(a+bcos²x)², a >0, b >0.

c)R_2π

0

(1 + 2 cosx)ⁿcosnx

1−2acosx−a dx, −1< a < ¹₃. d)R_∞

−∞

dx 1 +x⁴. e)R_∞

0

xsinx x²+ 1dx, f) R_∞

−∞

xcosx x²−2x+ 10dx, g)R_∞

−∞

xsinx x²−2x+ 10dx.

h)R_∞

0

sinx x dx.

i)R_∞

0

sin⁴mx

x² dx, m >0.

Exercice 56. On consid`ere la fonction f(z) = e^iz

z(z²+ 1), z ∈C.

Soit

∆(ε, r) = {z=x+iy∈C:ε <|z |< r, y >0}, ε etr ´etant des constantes strictement positives.

1^◦)D´eterminer les pˆoles et r´esidus correspondants de la fonction f(z).

2^◦)En d´eduire la valeur de l’int´egraleR

∂4⁺f(z)dz, ∂4⁺d´esignant la fronti`ere de4 orient´ee dans le sens positif.

3^◦)Calculer l’int´egrale r´eelle Z _∞

−∞

sinx x(x²+ 1).

Exercice 57. Calculer les int´egrales suivantes : a)R_∞

0

x^α

(1 +x)xdx, 0< α <1.

b)R_∞

0

logx 1 +x²dx.

c)R₁

0

p4

x³(1−x)dx.

Exercice 58. En utilisant la m´ethode des r´esidus, d´eterminer la somme des s´eries suivantes:

a) X∞

k=1

1

k²+a², a 6= 0.

b) X∞

k=−∞

(−1)^k

(k+a)², a6=Z.

Exercice 59. D´eterminer la fonction r´eelle causale f(t) dont la transform´ee de Laplace est

F(z) = Z _∞

−∞

f(t)e^−ztdt = 1

√z, (Rez > 0).

Indication: utiliser la formule de Bromwich-Wagner:

f(t) = 1 2πi

Z _σ+i∞

σ−i∞

F(z)e^ztdz, (t, σ >0).

Exercice 60. Soit Ω un ouvert de C.

1) Soit (f_n) une suite de fonctions holomorphes sur Ω qui converge uni- form´ement sur tout compact de Ω vers une fonctionf. Montrer que :

a) f est holomorphe dans Ω.

b) la suite des d´eriv´ees

³ fn^(k)

´

convege uniform´ement sur tout compact de Ω vers f^(k), k∈N.

2) SoitP

f_nune s´erie de fonctions holomorphes sur Ω. On suppose que cette s´erie converge uniform´ement (resp. normalement) sur tout compact de Ω.

Montrer que :

a) la somme de cette s´erie est holomorphe sur Ω.

b) la s´erie est d´erivable terme `a terme sur Ω. En outre, la s´erie P fn^(k)

converge uniform´ement (resp. normalement) sur tout compact de Ω.

Exercice 61. Soit fn et f des fonctions holomorphes sur Ω ⊂ C. Montrer qu’il est ´equivalent de dire

i) la suite (f_n) converge uniform´ement versf sur tout compact de Ω.

ii) lim

n→∞dn(fn, f) = 0.

Exercice 62. Soit Ω un ouvert de C et soit O(Ω) l’ensemble des fonctions holomorphes sur Ω. Montrer qu’il n’existe aucune norme dont la topologie est celle deO(Ω).

Exercice 63. Soit P

f_n une s´erie de fonctions m´eromorphes sur un ouvert Ω de C. On suppose que cette s´erie converge uniform´ement (resp. normale- ment) sur tout compact de Ω. Montrer que :

1) la sommef de cette s´erie est m´eromorphe sur Ω.

2) la s´erieP

fn^(k) converge uniform´ement (resp. normalement) sur tout com- pact de Ω et sa somme est f^(k).

Exercice 64. On consid`ere la s´erie X∞

n=−∞

1 (z−n)².

1) Montrer que cette s´erie converge normalement sur tout compact de C.

2) On pose

f(z) = X∞

n=−∞

1 (z−n)². a) Montrer quef(z) est p´eriodique de p´eriode 1.

b) Montrer que les pˆoles de f(z) sont les entiers n ∈ Z, sont doubles et de r´esidu nul.

c) Soit z =x+iy. Montrer que

|y|→∞lim f(z) = 0, uniform´ement par rapport `ax.

3) Montrer que

X∞

n=−∞

1 (z−n)² =

³ π sinπz

´₂ .

Exercice 65. Soit f une fonction m´eromorphe de pˆoles:z₁, z₂, z₃, . . . et soit

(1) g_n(z) =

pn

X

k=1

a⁽ⁿ⁾_−k (z−z_n)^k,

la partie principale du d´eveloppement en s´erie de Laurent def au voisinaage dezn. Montrer que pour toute suite de pointszn∈Ctels que: lim

n→∞zn=∞et toute suite de fonctionsg_nde la forme (1), il existe une fonction m´eromorphe f ayant pour seuls pˆoles les points z_n et pour toutn, la partie principale g_n.

2) Montrer que toute fonction m´eromorphe f peut-ˆetre d´evelopp´ee en une s´erie

(2) f =h+

X∞

n=1

(g_n−P_n),

uniform´ement convergente sur tout compact, o`u h est une fonction enti`ere, gn les parties principales de f et Pn des polynˆomes.

Soit

C_n ={z ∈C:|z|=r_n}, r₁ < r₂ < . . . , lim

n→∞r_n =∞

une famille de cercles et soit f une fonction m´eromorphe. On suppose que sur C_n, la fonction f croˆıt moins vite que zⁿ (c-`a-d. il existe une constante A telle que: ∀z ∈ C_n, n ∈ N^∗, on ait |f(z)| ≤ A|z|^m). Montrer qu’on peut prendre dans le d´eveloppement (2), P_n et h des polynˆomes de degr´e≤m.

Exercice 66. Soit (fn) une suite de fonctions continues sur Ω ⊂ C. Soit A une partie de Ω et posonsf_n = 1 +u_n. Montrer que le produit infini

Y∞

n=0

f_n(z) converge normalement surA si et seulement si la s´erie

X∞

n=0

u_n converge nor- malement surA.

Exercice 67. Soit (f_n) une suite de fonctions holomorphes sur Ω ⊂ C. On suppose que le produit infini

Y∞

n=0

f_n converge normalement sur tout compact de Ω. Montrer que :

1)f = Y∞

n=0

f_n est holomorphe sur Ω.

2)

Z(f) = [

n

Z(f_n), m_Z(f) =X

n

m_Z(f_n),

o`uZ(f) (resp. Z(f_n)) d´esigne l’ensemble des z´eros def (resp. f_n) etm_Z(f) (resp.m_Z(f n)) est l’ordre de multiplicit´e du z´ero de f (resp. f_n).

3) la s´erie de fonctions m´eromorphes X∞

n=0

f_n⁰ f_n,

converge normalement sur tout compact de Ω et sa somme est la d´eriv´ee logarithmique f⁰

f .

Exercice 68. D´emontrer les formules : 1

z + X∞

n=1

2z

z²−n² =π cotg πz, sinπz=πz

Y∞

n=1

µ 1− z²

n²

¶ .

Exercice 69. Soit k un nombre complexe non nul de module |k|>1. On se propose de d´eterminer les fonctions f m´eromorphes dans C^∗ =C\ {0}, non identiquement nulles, qui poss`edent la propri´et´e suivante : il existe λ_f ∈C^∗ tel que pour toutz ∈C^∗ on ait

f(kz) = λ_f f(z).

1) Montrer que l’ensembleE de ces fonctions est un groupe multiplicatif.

2) Si f est holomorphe et appartient `a E, montrer que f est de la forme f(z) =αzⁿ avecα ∈C^∗, n∈Z.

3) Montrer qu’il existe des r´eels r i 0 tels que f n’ait ni pˆole ni z´ero sur le bord de la couronne 0h r≤ |z| ≤ |k| r. Montrer quef a le mˆeme nombre de z´eros que de pˆoles dans une telle couronne Ω_r.

4) Montrer que les produits infinis p(z) =

Y∞

n=0

³ 1− z

kⁿ

´

, q(z) = Y∞

n=1

µ

1− 1 zkⁿ

¶

convergent normalement sur tout compact deC^∗. Montrer queϕ(z) =p(z)q(z) est une fonction holomorphe dansC^∗ ayant pour z´eros l’ensemble P

={kⁿ} (n ∈Z).

5) Soitf ∈E et soit r∈R d´efini comme au 3). Dans Ω_r, soient a₁, ..., a_p les z´eros def, b₁, ..., b_p ses pˆoles (distincts ou non). On pose

ψ(z) = ϕ(z/a1)...ϕ(z/ap) ϕ(z/b₁)...ϕ(z/b_p).

Montrer que l’on a ψ ∈ E et qu’il existe α ∈ C^∗, n ∈ Z tels que f(z) = αzⁿψ(z).

6) Conclusion.- Quelle est l’expression des fonctions deE ?

Exercice 70. Soit f une fonction holomorphe surC sauf en un nombre fini de points a₁, a₂, ..., a_n. Montrer que

Xn

k=1

Resak

f + Res

∞ f = 0.

Exercice 71. 1) Soit τ un nombre complexe tel que : Im (τ) > 0 et soit q=e^πiτ. Montrer que la s´erie

X+∞

n=−∞

(−1)ⁿqⁿ²e^2πniz, converge uniform´ement sur tout compact deC.

2) On d´esigne parϑ la somme de cette s´erie. Montrer que ϑ(z+ 1) = ϑ(z),

ϑ(z+τ) = −q⁻¹e^−2πizϑ(z).

3) Montrer que ϑ n’est pas identiquement nulle. On pourra montrer par exemple que

Z ₁

0

|ϑ(x)|²dx= 1 + 2 X+∞

n=1

|q|ⁿ². 4) Montrer que les nombresm+¡

n+¹₂¢

τ sont des z´eros de ϑ.

5) En ´evaluant l’int´egrale de la fonctionϑ⁰/ϑsur le contour d’un parall´elogramme de p´eriodes bien choisi, montrer que ϑ n’a pas d’autre z´ero.

6) Montrer que le produit infini Y∞

n=1

¡¡1−q²ⁿ⁻¹e^2πiu¢ ¡

1−q²ⁿ⁻¹e^−2πiu¢¢

,

d´efinit une fonction f(u) holomorphe dans le plan de la variable complexe u.

7) Quels sont les z´eros def ?

8) Montrer quef /ϑest doublement p´eriodique et enti`ere.

9) En d´eduire que

f(u) = c.ϑ(u), o`ucest une constante.

Exercice 72. La fonction gamma d’Euler Γ (z), se d´efinit par l’int´egrale Γ (z) =

Z _∞

0

e^−tt^z−1dt.

Montrer que :

1) La fonction Γ (z) est d´efinie et holomorphe dans le demi-plan Res>0.

2) La fonction Γ (z) v´erifie la relation fonctionnelle suivante : (3) Γ (z+ 1) =zΓ (z), Res>0

ce qui imlique la relation de r´ecurrence :

Γ (n+ 1) =n!, n∈N^∗.

On peut prolonger la fonction Γ (z) au moyen de la formule (3), en une fonction holomorphe surC\ {−N}.

4) Graphe de Γ (z) pour z =x∈R.

5) Etablir la formule de Weierstrass : 1

Γ (z+ 1) =e^Cz Y∞

k=1

³ 1 + z

k

´ e⁻

z k . 6) Posons

gn(z) = z(z+ 1)· · ·(z+n)

n! n^−z.

Montrer que lorsque n→ ∞, alors g_n tend vers g(z) = 1

Γ(z), uniform´ement sur tout compact de C.

7) Etablir la formule des compl´ements : Γ (z) Γ (1−z) = π

sinπz, ∀z ∈C\Z.

Exercice 73. Montrer que l’espace projectif complexe Pⁿ(C) = {[Z]6= 0 ∈Cⁿ⁺¹}

[Z]∼[λZ] , est une vari´et´e analytique.

Exercice 74.SoitTⁿun tore complexe de dimensionnc’est-`a-dire le produit direct de n cercles. Autrement dit, Tⁿ est le quotient Cⁿ/L de Cⁿ par un sous-groupe engendr´e par une base de Cⁿ. Montrer que Tⁿ est muni d’une structure de vari´et´e analytique.

Exercice 75. Soit G_n,k, 0 ≤k ≤n, une Grassmannienne complexe c’est-`a- dire l’ensemble des plans de dimensionk de l’espace C<sup>n</sup> passant par 0. G<sub>n,k</sub> peut ˆetre consid´er´e comme espace des sph`eres de centre 0 et de dimensionk−1 contenues dans la sph`ere S<sup>n−1</sup>, ces sph`eres correspondant biunivoquement aux sous-espaces vectoriels de dimensionk deCⁿ. Montrer queG_n,k est une vari´et´e complexe analytique compacte et connexe de dimension (n−k)k.

Exercice 76. Soit Ω un ouvert de Cⁿ et soit O(Ω) l’ensemble des fonctions holomorphes sur Ω.

1) Montrer que l’ensembleO(Ω) est une C-alg`ebre pour l’addition, la multi- plication des fonctions et la multiplication par les constantes complexes.

2) Soitf ∈ O(Ω). Montrer que si f(z)6= 0,∀z ∈Ω, alors 1

f ∈ O(Ω).

3) Montrer que si Ω est connexe et si f est `a valeurs r´eelles ou si |f| est constante, alorsf est constante.

Exercice 77. Soit

D(a, r) ={(z1, ..., zn)∈Cⁿ:|zj −aj| < rj, j = 1, ..., n},

un polydisque (de Cⁿ) de centre a = (a₁, ..., a_n) ∈ Cⁿ et de rayon r = (r1, ..., rn)∈¡

R^∗₊¢_n

et soit

∂₀D(a, r) ={(z₁, ..., z_n)∈Cⁿ :|z_j−a_j| =r_j, j = 1, ..., n}, le bord distingu´e de D(a, r). On d´esigne par O(D)∩ C¡

D¢

l’ensemble des fonctions holomorphes surD et continues sur D.

1) Soitf ∈ O(D)∩ C¡ D¢

. Montrer que

(4) ∀z ∈ D, f(z) =

X∞

|k|=0

c_k(z−a)^k,

o`uk = (k1, ..., kn)∈Nⁿ, |k|=k1 +· · ·+kn et c_k = 1

(2πi)ⁿ Z

∂0D

f(ζ) (ζ−a)^k+1dζ.

2) En d´eduire que toute fonctionf ∈ O(D) est analytique.

3) Soit f ∈ O(D). Montrer que f ∈ C^∞(D), que ses d´eriv´ees sont holo- morphes sur D et qu’en outre, les coefficients c_k de la s´erie (4) sont donn´es par

ck= 1 k!

∂^|k|f

∂z^k

¯¯

¯¯

z=a

. 4) Soitf ∈ O(D)∩ C¡

D¢

et supposons que: |f| ≤M sur∂0D, M ´etant une constante. Montrer que

|ck| ≤ M r^k, o`ur^k =r^k₁¹. . . r_n^kn.

Exercice 78. Soit X la surface de Riemann associ´ee `a l’´equation : w² =z⁴−1,

1) Quelles sont les points de branchements de X ? Justifier la r´eponse et analyser le casz =∞.

2) Montrer queX est un tore `a 3 trous.

Exercice 79. Soit ω₁ et ω₂ deux nombres complexes diff´erents de 0. On suppose que Im

³ω2

ω1

´

> 0 et on d´esigne par Ω le r´eseau ou sous-groupe discret de Cengendr´e par ω₁ etω₂ :

Ω =Zω₁+Zω₂ =©

ω=mω₁+nω₂, (m, n)∈Z²ª .

1) Montrer que toute fonction elliptiquef(z)6=constante, poss`ede des pˆoles.

2) Montrer que toute fonction elliptique a un nombre fini de pˆoles et de z´eros dans Ω.

3) On d´esigne par

a₁, ..., a_l : z´eros de f de multiplicit´e respectivement n₁, ..., n_l. b₁, ..., b_m : pˆoles de f de multiplicit´e respectivement p₁, ..., p_m,

et soitf une fonction elliptique (6=constante) n’ayant ni z´ero, ni pˆole sur ∂Ω.

Montrer que, dans Ω, on a a)

Xm

k=1

Resbk

f = 0, b)

Xl

k=1

n_k = Xm

k=1

p_k, c)

Xl

k=1

n_ka_k− Xm

k=1

p_kb_k= p´eriode, et interpr´eter ces r´esultats.

4) Montrer qu’il existe deux fonctions elliptiques f(z) et g(z) quelconques de mˆemes p´eriodesω₁ et ω₂ une relation alg´ebrique de la forme :

P (f(z), g(z)) = 0,

o`uP (Z, W) est un polynˆome en Z etW `a coefficients constants.

5) En d´eduire que toute fonction elliptique f(z) satisfait `a une ´equation diff´erentielle de la forme

P (f(z), f⁰(z)) = 0, o`uP (Z, W) est un polynˆome en Z etW.

Exercice 80. La fonction elliptique ℘ de Weierstrass est d´efinie par

℘(z) = 1

z² + X

ω∈Ω\{0}

½ 1

(z−ω)² − 1 ω²

¾ ,

o`u Ω est le r´eseau d´efini dans l’exercice pr´ec´edent.

1) Montrer que cette s´erie converge normalement sur tout compact de C.

2) Montrer que :

• ℘(z) est paire.

• ℘⁰(z) est doublement p´eriodique.

• ℘(z) est elliptique de p´eriodes ω₁ etω₂.

• Les points ω∈Ω sont des pˆoles doubles de ℘(z) dont le r´esidu est nul.

3) Montrer que la fonction℘(z) est solution dans Ω de l’´equation diff´erentielle:

(℘⁰(z))² = 4 (℘(z))³−g₂℘(z)−g₃, o`u

g₂ ≡60 X

ω∈Ω\{0}

1

ω⁴, g₃ ≡140 X

ω∈Ω\{0}

1 ω⁶. 4) Montrer que℘⁰(z) a trois z´eros en: ^ω₂¹, ^ω₂², ^ω1+ω₂ ² et que

℘

³ω₁ 2

´ 6=℘

³ω₂ 2

´ 6=℘

µω₁+ω₂ 2

¶ . 5) Montrer que

℘(u) +℘(v) +℘(u+v) = 1 4

µ℘⁰(u)−℘⁰(v)

℘(u)−℘(v)

¶₂ . En d´eduire que

℘(2z) = 1 4

µ℘⁰⁰(z)

℘⁰(z)

¶₂

−2℘(z) (formule de duplication).

6) Montrer que toute fonction elliptiquef peut s’´ecrire sous la forme f =F (℘(z)) +℘⁰(z)G(℘(z)).

7) On suppose que:g₂³−27g₃² 6= 0 o`ug₂etg₃ sont d´efinies dansc). D´eterminer l’int´egrale elliptique dont l’inverse est la fonction ℘(z).

8) Montrer que l’application

C/Ω −→ P²(C),

z 7−→ [1 :℘(z) :℘⁰(z)], z6= 0, 0 7−→ [0 : 0 : 1].

est un isomorphisme entre le tore complexe C/Ω et la courbe elliptique E d’´equation

y² = 4x³−g₂x−g₃, o`ug₂ et g₃ sont d´efinies dans 3).

Exercice 81. Consid´erons

f :C→C, z 7→w: w² =z(z−1) (z−λ),

avec λ 6= 0, λ 6= 1. Il est clair que f n’est pas une fonction. Construire (en justifiant) un domaine pour lequel f soit une fonction uniforme.

Exercice 82. Quelle est la surface de RiemannC associ´ee `a l’´equation P(w, z) =w² +Q(z)w+ 1 = 0,

o`uQ(z) est un polynˆome en z de degr´e n. D´eterminer une base (ω₁, ..., ω_g) de diff´erentielles holomorphes sur la surface de Riemann C, g ´etant le genre deC.

Exercice 83. Soient D etD⁰ deux domaines de P¹(C) = C∪ {∞}.

1) Montrer queCet le disque ouvert {z ∈C:|z| < 1}ne sont pas isomor- phes mais sont hom´eomorphes.

2) Montrer que les automorphismes de D forme un groupe.

3) Montrer que le groupe des automorphismes deC est Γ (C) ={z 7→az+b, a6= 0},

et prouver que ce groupe est transitif; le sous-groupe d’isotropie de 0 est {z 7→az, a6= 0}.

4) Consid´erons les transformations homographiques

(5) z 7−→w= az+b

cz+d, o`u (a, b, c, d∈C) et ad−bc6= 0.

a) Montrer que (5) peut-ˆetre consid´er´ee comme le produit de transforma- tions telles que: translation, rotation, homoth´etie et inversion.

b) Montrer que les transformations (5) forment un groupeGd’automorphismes deP¹(C) qui est transitif et qu’en outre

Γ¡

P¹(C)¢

=G.

5) On consid`ere le demi-plan

P⁺ ={z ∈C: Imz =y > 0}, et le disque unit´e

D(0,1) ={z ∈C:|z| < 1}.

D´emontrer les assertions suivantes :

a) On obtient un isomorphisme de P⁺ surD(0,1) en posant w= z−i

z+i.

b) On obtient un automorphisme deD(0,1) en posant w=e^iθ

µ z−z₀ 1−z0z

¶

, θ ∈R, |z₀| < 1.

Que peut-on dire du groupe Γ (D(0,1)) ?

c) On obtient un automorphisme deP⁺ en posant w= az+b

cz+d, (a, b, c, d∈R), ad−bc= 1.

Que peut-on dire du groupe Γ (P⁺) ?

6) Montrer que tout ouvert simplement connexe de C, distinct de C, est isomorphe au disqueD(0,1).

Exercice 84. Soit le syst`eme d’´equations diff´erentielles dans le domaine complexe

w⁰₁ =f1(z, w1, ..., wn), ...

w_n⁰ =f_n(z, w₁, ..., w_n).

Chercher des conditions pour que le syst`eme ci-dessus poss`ede une solution unique. Justifier votre analyse du probl`eme.

Exercice 85. Soit l’´equation diff´erentielle d’ordren dⁿw

dzⁿ =f¡

z, w, w⁰, ..., w⁽ⁿ⁻¹⁾¢ ,

o`u f est une fonction holomorphe (de n + 1 variables) dans un voisinage d’un point (z₀, a₀, ..., a_n−1). On cherche une solution w(z) de cette ´equation satisfaisant aux conditions initiales

w(z0) =a0, w⁰(z0) = a1, ... w⁽ⁿ⁻¹⁾(z0) = an−1.

Montrer que sous ces conditions , l’´equation pr´ec´edente poss`ede une solution unique.

Exercice 86. Soit l’´equation diff´erentielle

w⁽ⁿ⁾+p₁(z)w⁽ⁿ⁻¹⁾+· · ·+p_n−1(z)w⁰+p_n(z)w= 0,

o`u p1(z), . . . , pn(z) sont des fonctions holomorphes dans un domaine D.

Montrer que cette ´equation poss`ede une solution unique holomorphe dans D.

Exercice 87. Soit l’´equation diff´erentielle de second ordre w⁰⁰+p(z)w⁰+q(z)w= 0.

Supposons quez =ξ est un point singulier fuchien et soit α₁, α₂ les racines de l’´equation aux indices :

α(α−1) +a₀α+b₀ = 0, avec

a₀ = lim

z→ξ(z−ξ)p(z), b₀ = lim

z→ξ(z−ξ)²q(z).

a) Montrer que si α₁ −α₂ ∈/ Z, l’´equation diff´erentielle pr´ec´edente poss`ede deux solutions lin´eairement ind´ependantes :

w₁ = (z−ξ)^α1 X∞

n=0

c_n(z−ξ)ⁿ, c₀ 6= 0,

w2 = (z−ξ)^α2 X∞

n=0

c⁰_n(z−ξ)ⁿ, c⁰₀ 6= 0.

b) Montrer que si α1 −α2 ∈ Z, l’´equation diff´erentielle pr´ec´edente poss`ede deux solutions lin´eairement ind´ependantes :

w1 = (z−ξ)^α1 X∞

n=0

cn(z−ξ)ⁿ, c0 6= 0, w₂ = [Aln (z−ξ) +ϕ(z)]w₁,

avec Reα₁ ≥Reα₂,Ad´esignant une constante et ϕ(z) une fonction pouvant admettre z =ξ pour pˆole.

Exercice 88. On consid`ere l’´equation diff´erentielle suivante 2z²w⁰⁰+zw⁰ −¡

1 +z²¢

w= 0.

1) Quels sont les points singuliers de cette ´equation ? D´eterminer, parmi ceux-ci, ceux qui sont fuchsiens.

2) En vertu de l’exercice pr´ec´edent, l’´equation poss`ede au voisinage de l’origine deux solutions lin´eairement ind´ependantes de la forme

w₁ =z^α1 X∞

n=0

c_nzⁿ, w₂ =z^α2 X∞

n=0

c⁰_nzⁿ. D´eterminer les valeurs deα₁, α₂.

3) D´eterminer les suites {cn}, {c⁰_n} (en prenant c0 = 1, c⁰₀ = 1).

Exercice 89. Quels sont les points singuliers des ´equations diff´erentielles w⁰⁰+ 1

z(z+ 2)w⁰+ 1

z²w= 0, w⁰⁰+ 1

z⁴−1w⁰+ 1

z²w= 0.

D´eterminer, parmi ceux-ci, ceux qui sont fuchsiens.

Exercice 90. Etudier en d´etail l’´equation hyperg´eom´etrique de Gauss z(1−z)w⁰⁰+ [c−(1 +a+b)z]w⁰ −abw= 0,

o`ua, b, c sont des constantes.

Exercice 91. Mˆeme question pour l’´equation de Bessel z²w⁰⁰+zw⁰+¡

z²−ν²¢

w= 0, o`uν est une constante.